Konvergenz von Reihen

15.01.2018, 16:56	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Reihen Hallo zusammen, wüsste gerne ob folgende Reihen richtig aus Konvergenz untersucht worden: a) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{4n+4}{n^{2} \cdot (n+2)^{2}} \end{eqnarray}$ Mein Ansatz: $\begin{eqnarray} \frac{4n+4}{n^{2} \cdot (n+2)^{2}} = \frac{4n+4}{n^{2} \cdot (n^{2} +4n+4} \cdot \frac{\frac{1}{n^{2}}}{\frac{1}{n^{2}}} = \frac{\frac{4}{n}+ \frac{4}{n^{2}}}{n^{2}+4n+2} \leq \frac{\frac{4}{n}+ \frac{4}{n^{2}}}{n^{2}} \leq \frac{1}{n^{2}} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N , n\geq 5 \end{eqnarray}$ Daher ist $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}} Majorante \ zu \ \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{4n+4}{n^{2} \cdot (n+2)^{2}} \end{eqnarray}$ und somit konvergiert die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{4n+4}{n^{2} \cdot (n+2)^{2}} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty } (\frac{1}{4} + \sqrt{n^{2}+n} -n)^{n} \end{eqnarray}$ Mit dem Wurzelkriterium folgt: $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{ (\frac{1}{4} + \sqrt{n^{2}+n} -n)^{n}} = \frac{1}{4} + \sqrt{n^{2}+n} -n = \frac{1}{4} + n \cdot \sqrt{1+ \frac{1}{n}} -n \ ( n \rightarrow \infty ) \frac{1}{4} = q <1 \end{eqnarray}$ Stimmt das so ?
15.01.2018, 17:06	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Wurzelterm bei b) konvergiert nicht gegen $\begin{align} \frac{1}{4} \end{align}$ , sondern gegen $\begin{align} \frac{3}{4} \end{align}$ , was ja auch reicht. Ansonsten stimmt es. a) ist soweit Ok. Interessanterweise kann man den Reihenwert sogar einfach ausrechnen, das ist nämlich eine Teleskopreihe: $\begin{align} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4n+4}{n^2(n+2)^2} \stackrel{!}{=} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+2)^2-n^2}{n^2(n+2)^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+2)^2} \right) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} = \frac{5}{4} \end{align}$ .
15.01.2018, 17:22	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommt man denn auf die $\begin{eqnarray} \frac{3}{4} \end{eqnarray}$ , sehe jetzt gerade nur meine $\begin{eqnarray} \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ oder ist da was in der Rechnung falsch ?
15.01.2018, 17:24	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Allem Anschein nach bist du wieder dem falschen Schema der "partiellen" Grenzwertbildung verfallen, wie auch hier schon: "Partiell" in dem Sinne, dass du bei Teilen der Formel den Grenzübergang $\begin{align} n\to\infty \end{align}$ vollziehst, bei anderen nicht, also so nach dem Motto $\begin{align} \lim_{n\to\infty} \left( n\cdot \sqrt{1+\frac{1}{n}}-n \right) \stackrel{?}{=} \lim_{n\to\infty} \left( n\cdot \left( \lim_{n\to\infty} \sqrt{1+\frac{1}{n}} \right) -n \right) = \lim_{n\to\infty} \left( n\cdot 1 -n \right) = 0 \end{align}$ . Und wie auch schon im verlinkten Thread fällst du damit auf die Nase - lass den Unfug jetzt wirklich ein für alle mal sein! Es gibt keine Regel, die ein derartiges Vorgehen legitimiert - ja wie auch: Der tatsächliche Grenzwert ist (per dritter binomischer Formel im Mittelteil) $\begin{align} \sqrt{n^2+n}-n = \frac{n^2+n-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1} \to \frac{1}{2} \end{align}$ für $\begin{align} n\to\infty \end{align}$ .
15.01.2018, 17:27	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, erstmal danke jetzt wo ich weiß wie man diesen Denkfehler betiteln würde, werde ich mir ihn merken und nicht nochmal anwenden LG
15.01.2018, 17:30	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist zwar keine brauchbare Beweismethode, aber es hilft zumindest grobe Irrtümer hinsichtlich des Grenzwertes zu erkennen: Einfach mal große $\begin{align} n \end{align}$ einsetzen: $\begin{align} n=100, 1000, 10000, \ldots \end{align}$ , dann kann man zumindest im Fehlerfall oft schon ahnen, dass man falsch liegt.
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