Lineares Gleichungssystem mit Parameter

16.01.2018, 02:04

HenneMa

Lineares Gleichungssystem mit Parameter

Meine Frage:
Guten Tag,
ich habe folgendes Gleichungen gegeben:
$\begin{eqnarray*} ax+(1-a)y+2az=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x-y+z=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x+(1+a)y=2 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt dieses Gleichungssystem gegeben:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \begin{array}{ccc|c} a & (1-a) & 2a & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & (1+a) & 0 & 2 \end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Angegeben werden soll die Läsungsmenge anhand des Parameters a.

Meine Ideen:
Die Spezialfälle für a={-1,0,1} habe ich schon erledigt und machen mir keine Schwierigkeiten.
Sonst ist für a vorgegeben: $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Ich habe überlegt, dass ich die letzte Zeile nach x umstelle und dann in die letzte Zeile einsetze. Also:

$\begin{eqnarray*} 2x+(1+a)y=2\Leftrightarrow x=\frac{(1+a)*y}{2}+1 \end{eqnarray*}$

Dann folgt:
$\begin{eqnarray*} (2*\frac{(1+a)*y}{2}+1)+(1+a)y=2 \end{eqnarray*}$

Dies könne ich ja nach y umstellen, aber das ist falsch oder hier komme ich nicht weiter.

Die richtige Lösung soll $\begin{eqnarray*} L_a=\{\frac{1}{a+2},\frac{2}{a+2},\frac{1}{a+2}\} \end{eqnarray*}$

Das sagt zumindest Wolframalpha: WolframAlpha

16.01.2018, 08:19

sixty-four

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Du musst als erstes den Rang der Koeffizientenmatrix bestimmen. Der ist von a abhängig. wenn ich das recht sehe, hat die Determinante der Koeffizientenmatrix den Wert $\begin{eqnarray*} a^2+3a+2=(a+1)(a+2) \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet, dass eine eindeutige Lösung nur dann existiert, wenn a von -1 und -2 verschieden ist.
Du musst also 3 Fälle betrachten:
1. a=-1
2. a=-2
3. a weder -1 noch -2

16.01.2018, 17:06

HenneMa

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RE: Lineares GS
Danke für die Antwort, aber ich darf soll den weg über die Determinante nicht benutzen.

Das mit a ungleich -1,-2 ist mir auch klar. Gibt es einen anderen Lösungsweg.
Angestebt ist das Eliminationsverfahren nach Gauß

16.01.2018, 17:33

sixty-four

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RE: Lineares GS

Zitat:

Original von HenneMa
Danke für die Antwort, aber ich darf soll den weg über die Determinante nicht benutzen.

Das mit a ungleich -1,-2 ist mir auch klar. Gibt es einen anderen Lösungsweg.
Angestebt ist das Eliminationsverfahren nach Gauß

Das kannst du auch mit dem Gauß-Verfahren machen. Für die Fälle a=-1 und a=-2 musst du ja eine Nullzeile erzeugen können und dann kannst du sehen, was auf der rechten Seite steht. Wenn du für a nichts einsetzen kannst, kannst du auch mit Gauß rechnen, aber die Rechnung ist etwas ungemütlicher.

16.01.2018, 18:55

HenneMa

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RE: Lineares GS
Genau dabei habe ich Probleme.

Den Fall a=-1 habe ich schon abgeklört. Aber ich schaffe es irgendiw nicht das Gleichungssystem nach Gauß zu vereinfachen. Das a stört mich immer.

Habe jetzt zum Beispiel zur ersten zeile die dritte Zeile addiert. Dann steht in der ersten Zeile:
$\begin{eqnarray*} a*3*x+2*y+2*a*z=3 \end{eqnarray*}$

Komme aber nicht weiter

16.01.2018, 19:38

sixty-four

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RE: Lineares GS
Dann fange mal damit an, dass du die erste und 2. Zeile vertauscht (rechte Seite natürlich entsprechend). Dann subtrahierst du das a-fache der ersten Zeile von der zweiten. Dann subtrahierst du das Doppelte der ersten von der dritten.
Dann sieht alles schon viel besser aus und du kommst bestimmt alleine weiter.

16.01.2018, 20:00

sixty-four

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RE: Lineares GS
Wenn ich das mache, sieht es bei mir so aus

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ a & 1-a & 2a \\2& 1+a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nach dem ersten Schritt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\0 & 1 & a \\ 0& 3+a & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Danach subtrahierst du das (3+a)-fache der zweiten Zeile von der dritten. Dann hast du es.

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