Differenzierbarkeit

16.01.2018, 13:12

Kathreena

Differenzierbarkeit

1.) Bestimmen sie $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ Differenzierbar $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases}\left (a\sqrt{x^2+2} \right) & x\leq 2\\ 1-bx & x>2\end{cases}\quad \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

Ich weiß das ich 2 Gleichungen für 2 unbekannte brauche.

Meine 1. Gleichung wäre die Stetigkeit:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2-} a\sqrt{x^2+2} = a\sqrt{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2+} 1-bx =1-2b \end{eqnarray*}$

Und die müssen gleich sein:
$\begin{eqnarray*} a\sqrt{6} \iff 1-2b \end{eqnarray*}$

auf die 2. Gleichung komm ich nich, habs mit Differentialquotienten versucht, um Differenzierbarkeit an der stelle x = 2 zu zeigen, aber komme da nicht weiter.

16.01.2018, 13:16

klarsoweit

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RE: Differenzierbarkeit
An der Stelle x=2 darf kein Knick sein, das heißt, die links- und die rechtsseitige Ableitung müssen dort gleich sein. Augenzwinkern

16.01.2018, 13:42

Kathreena

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Kann ich das so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2-} f'(x) = a \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+2} } \cdot 2x = \frac{2a}{\sqrt{6} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2+} f'(x) =-b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2a}{\sqrt{6} } \iff -b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = -2 \frac{1-2b}{\sqrt{6} \sqrt{6} } = -\frac{1-2b}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = \frac{1+2}{\sqrt{6} } = \frac{3}{\sqrt{6} } = 1,22474 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases}\left (1,22474\sqrt{x^2+2} \right) & x\leq 2\\ 1+x & x>2\end{cases}\quad \end{eqnarray*}$

16.01.2018, 13:55

klarsoweit

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Zitat:

Original von Kathreena
$\begin{eqnarray*} \frac{2a}{\sqrt{6} } \iff -b \end{eqnarray*}$

Da gehört ein Gleichheitszeichen zwischen und kein Äquivalenzpfeil.

Zitat:

Original von Kathreena
$\begin{eqnarray*} a = \frac{1+2}{\sqrt{6} } = \frac{3}{\sqrt{6} } = 1,22474 \end{eqnarray*}$

Ich würde eher $\begin{eqnarray*} a = \frac 1 2 \sqrt 6 \end{eqnarray*}$ bevorzugen. smile

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