Maß- wann endlich?

16.01.2018, 15:12

Susanne Susanne

Maß- wann endlich?

Sei $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ eine nichtleere Menge. $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ werde mit seiner Potenzmenge als $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra versehen. Für eine Menge $\begin{eqnarray*} M \subseteq \Omega \end{eqnarray*}$ bezeichne |M| die Anzahl ihrer Elemente, ggfs. istg dieser Ausdruck + $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ .

Man zeige: Durch $\begin{eqnarray*} \mu (M)= | M| \end{eqnarray*}$ wird ein Maß auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ definiert. Wann ist dieses Maß endlich?

Ich verstehe die Aufgabe nicht? KAnn mir jemand helfen? Was ist gemeint mit "Wann ist dieses Maß endlich"? Woran erkenne ich oder lege fest das ein Maß endlich ist?

16.01.2018, 15:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von Susanne Susanne
Was ist gemeint mit "Wann ist dieses Maß endlich"?

Ich formuliere es mal anders:

"Unter welchen Bedingungen an $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ist dieses Maß endlich?"

Die Antwort auf diese Frage kommt dir vermutlich zu trivial vor... dennoch ist das so gemeint. Augenzwinkern

08.02.2018, 15:34

Susanne Susanne

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"Anschaulich ist ein endliches Maß ein Volumenbegriff, bei dem die betrachtete Grundmenge nur ein endliches Volumen besitzt. "

Also, wenn $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ endlich ist? Wenn das so ist... Wie zeige ich das?

08.02.2018, 16:03

HAL 9000

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Was gibt es noch groß zu zeigen?

Ein Maß ist endlich, wenn $\begin{eqnarray*} \mu(\Omega) \end{eqnarray*}$ endlich ist (d.h. $\begin{eqnarray*} \mu(\Omega)<\infty \end{eqnarray*}$ ), hier bei deinem Maß muss daher $\begin{eqnarray*} |\Omega| \end{eqnarray*}$ endlich sein. Und das ist nun mal gleichbedeutend damit, dass die Menge $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ endlich ist.

08.02.2018, 16:51

Susanne Susanne

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Muss ich nicht daraus so was machen wie:

(1) $\begin{eqnarray*} \mu(\emptyset )=0 \end{eqnarray*}$ ok
(2) $\begin{eqnarray*} \mu(\mathcal M) \geq 0 \end{eqnarray*}$ ok
(3) $\begin{eqnarray*} (M_{n})_{n \in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ paarweise disjunkt $\begin{eqnarray*} \mu (\bigcup\limits_{n \in \mathbb N } M_{n}) = \sum\limits_{n \in \mathbb N } \mu(M_{n}) \end{eqnarray*}$

?

08.02.2018, 17:29

HAL 9000

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Achso, du willst auch noch zeigen, dass es überhaupt ein Maß ist. Ich hatte gedacht, es geht nur um die Frage "Wann ist dieses Maß endlich?"

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Maß- wann endlich?

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