Sturm Liouville |
16.01.2018, 19:34 | Patrick33 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Sturm Liouville |
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17.01.2018, 11:59 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Gegeben ist eine Differenzialgleichung ______________Gleichung (1) Diese will man auf die Sturm-Liouvillsche Form bringen, die ich WIKIPEDIA entnommen habe: ______________Gleichung (2) Der Vorteil gegenüber (1) besteht darin, dass im ersten Summanden von (2) die 1. und 2.Ableitung zusammengefasst sind. Ausdifferenzieren von (2) liefert ______________Gleichung (3) Die Frage ist, wie die Funktionen p(x), q(x), r(x) gewählt werden müssen, damit (1) und (3) identisch sind. Um dies zu erreichen, wählt man die noch unbekannte Funktion p(x) wie folgt ______________Gleichung (4) Die Motivation für diese Wahl ist, dass die 1.Ableitung von p(x) folgende Form bekommt ______________Gleichung (5) Insbesondere wird die 1.Ableitung von p(x) ein Vielfaches von p(x). Das ist der Witz der Sache, was unten deutlicher wird! Setzt man nun p'(x) aus (5) in (3) ein, erhält man ______________Gleichung (6) Ursprünlich wollten wir, dass diese Gleichung mit (1) übereinstimmt. Um dies zu erreichen, vergleichen wir (1) und (6) und kommen zu dem Schluss, das die noch unbekannte Funktion r(x) lauten muss r(x)=-p(x). Setzt man dies nämlich in (6) ein und multipliziert alles mit a(x), ergibt sich ______________Gleichung (7) Vergleich von (7) mit (1) liefert ag=d, also und , also . Damit sind die Funktionen p(x), q(x), r(x, g(x)) aus (2) bekannt. |
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17.01.2018, 13:13 | Patrick33 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Boah ganz schon kompliziert . Muss ich noch etwas machen ? Oder war es schon |
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17.01.2018, 21:18 | Patrick33 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Noch jemand da ? |
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18.01.2018, 09:44 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Rechnung ist zwar etwas umständlich, aber aus theoretischer Sicht einfach. Man wandelt lediglich eine Differenzialgleichung etwas um in eine andere Form. Mehr kann man dazu nicht sagen. |
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