1+1=0 in endlichen Körpern?

17.01.2018, 17:22	Kegorus	Auf diesen Beitrag antworten »
1+1=0 in endlichen Körpern? Hallo Forum, ganz kurze Frage: Ist das additiv inverse Element zum neutralen Element bezüglich der Multiplikation selbstinvers bezüglich Addition? Oder einfacher formuliert: Gilt in endlichen Körpern immer 1+1=0?
17.01.2018, 17:23	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 1+1=0 in endlichen Körpern? $\begin{eqnarray} \mathbb Z/ p\mathbb Z \end{eqnarray}$ ist für alle Primzahlen $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ ein endlicher Körper. Und die Gleichheit gilt nur für $\begin{eqnarray} p =2 \end{eqnarray}$ . Bei allen anderen ist $\begin{eqnarray} 1 + 1 = 2 \neq 0 \end{eqnarray}$ .
17.01.2018, 17:32	Kegorus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 1+1=0 in endlichen Körpern? Ok danke
17.01.2018, 17:54	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 1+1=0 \end{eqnarray}$ gilt in allen, endlichen und unendlichen Körpern, in denen der Primkörper $\begin{eqnarray} \mathbb F_2\cong \mathbb Z/2\mathbb Z \end{eqnarray}$ enthalten ist. Man sagt, diese Körper haben Charakteristik $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ . Endliche Körper mit Charakteristik $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ sind genau die Körper $\begin{eqnarray} \mathbb F_q=\mathbb F_{2^n} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Als Vektorraum ist $\begin{eqnarray} \mathbb F_{2^n}\cong \mathbb F_2^n \end{eqnarray}$ isomorph zum Vektorraum der Dimension $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ über dem Körper $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 \end{eqnarray}$ . Als Körper ist $\begin{eqnarray} \mathbb F_{2^n} \end{eqnarray}$ nullteilerfrei, ist also nicht isomorph zum Restklassenring $\begin{eqnarray} \mathbb Z/2^n\mathbb Z \end{eqnarray}$ (außer für $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ ).

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