Transformationssatz

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MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
Transformationssatz
Hey Leute,

kann mir jemand erklären, warum beim Transformationssatz von Mehrfachen Integralen die Funktionaldeterminante im Integranden steht? Vom Prinzip her kann ich mir vorstellen, dass es funktioniert, wie bei der Substitution, aber warum genau der "Betrag der Determinante"...?

Danke euch! smile
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo MasterWizz,

am einfachsten ist das, wenn du einen Spat im |R³ (= "dreidimensionales Parallelogramm") betrachtest. Sagen wir mal, du lässt die drei Vektoren (2,1,1), (1,2,1) und (1,1,2) einen Körper erzeugen, d.h.

.

Das Volumen dieses Körpers berechnet ich herkömmlicherweise, glaube ich, zB über das Spatprodukt, das hieße etwa . Das ist gerade dasselbe wie die Determinante der Matrix A, s.u.

Nun betrachte mal und . Es ist . Die Transformationsformel lautet

.

Offenbar ist , also

. Also erhält man genau das erwartete Volumen.

LG
sibelius84
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Sibelius!
Das ist eine wirklich gute Eselsbrücke. Damit kann ich mir auch erklären, warum wir bei Oberflächenintegralen den Betrag des Normalenvektors nehmen.

smile
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Eine letzte Frage dazu:

Kann jeder Körper Phi(x) als lineare Abbildung A*x dargestellt werden mit A=Jacobimatrix?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie macht die Frage so formuliert keinen Sinn. unglücklich

Du wolltest vielleicht fragen, ob es für jeden (geometrischen) Körper als Integrationsgebiet einen -dimensionalen Quader sowie eine Matrix gibt mit , so dass dann gilt. Und da lautet die Antwort: Nein, die lineare Abbildung macht aus dem -dimensionalen Quader allenfalls einen -dimensionalen Spat. Andere Polyeder, wie etwa ein Tetraeder, oder gar "krumm" begrenzte Körper (wie eine Kugel) sind da nicht drin. Da musst du schon die Forderung der Linearität aufgeben. Augenzwinkern

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Übrigens: Im eindimensionalen entspricht die streng monotone (!) Substitution , d.h.,



(mit a<b) genau dem Vorgehen hier.

1) Ist streng monoton wachsend (d.h. ), so ist auch und (*) entspricht in Intervallschreibweise

.

2) Ist hingegen streng monoton fallend (d.h. ), so ist und (*) entspricht in Intervallschreibweise

.


Das ist sicher kein Beweis dafür, warum im mehrdimensionalen ein Betrag um die Determinante steht, aber zumindest ordnet es den eindimensionalen Fall in den allgemeinen ein, was diese Betragsbildung betrifft. Augenzwinkern
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Mühe Hal, du verstehst mich einfach auch ohne viele Worte Augenzwinkern

Der Spezialfall mit nur einer Variablen ist mir tatsächlich schon bewusst. Ich hatte auf eine einfache Herleitung für die mehrdimensionale Substitution gehofft, aber der Beweis scheint sehr kompliziert zu sein. Meine Professorin in Analysis hat damals in der Vorlesung auch leider darauf verzichtet.

Ich nehme es erst mal so hin, werde es aber irgendwann mal in Ruhe nacharbeiten.

Danke euch mal wieder! smile
 
 
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

War für mich auch aufschlussreich, so hatte ich das noch gar nicht betrachtet, mit dem g(b)<g(a), und dass es deshalb im Eindimensionalen auch gilt, selbst wenn da der Betrag steht. (Klar, muss es ja. Aber so sieht man auch, warum das funktioniert.)
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