Gaußsches Eliminationsverfahren, Gleichungssystem

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reichix Auf diesen Beitrag antworten »
Gaußsches Eliminationsverfahren, Gleichungssystem
Meine Frage:
Bestimmen Sie mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren die Lösung des Gleichungssystems über dem Körper K.

Matrix

2x1 + x2 + x3 + x4 | 1
x1 + + x3 - 2x4 | 1
7x1 + + x3 + x4 | 7

a) K = R (reele Zahl)
b) K = ?3

Meine Ideen:
a)

Als erstes habe ich nach dem Gauss'schen Eliminationsverfahren die Matrix ausgerechnet und bin auf gekommen


x1 x2 x3 x4
1 0 0 1/2 | 1
0 1 0 5/2 | -1
0 0 1 -5/2 | 0


umgeschrieben:

x1 = 1 - 1/2x4
x2 = -1 -5/2 x4
x3 = 5/2 x4

Im nächsten Schritt habe ic für x4 t1 nach dem Prinzip A*x = b (--> mehrdeutige Lösungen) eingesetzt.


(x1) ( 1 ) ( 1/2 )
(x2) = ( -1) + t ( 5/2 )
(x3) ( 0 ) (-5/2)



Genügt dies für Teil A?

Und wie habe ich bei Teil B der Aufgabe vorzugehen?


Im Voraus möchte ich mich für jegliche Hilfe bedanken.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

für Teil a) genügt das im Prinzip, wenn du die Lösungsmenge noch sauber aufschreibst (beim Abtippen scheinen dir ein paar t's verlorengegangen zu sein).

Für Teil b) musst du berücksichtigen, dass , wobei "modulo 3" gerechnet wird, das heißt zB , und . Wenn du mit dieser Rechenweise das LGS erneut nach Gauß bearbeitest, erhältst du die Lösung für .

LG
sibelius84
 
 
reichix Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo sibelius84

danke für Teil a. smile

Ich verstehe nicht ganz warum jetzt F3 = die Restklassen 0-2. Ich verstehe eigentlich überhaupt nicht was du damit meinst :L

Könntest du mir das für mathe anti-talente erklären bitte. Ich habe mich schon verdammt schwer mit dem Teil A getan :S

lg
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

War das nicht bei euch in der Vorlesung?

Hier ein Link
https://de.wikipedia.org/wiki/Endlicher_K%C3%B6rper ,
leider noch relativ abstrakt, kannst ja mal selber nach "endliche Körper" oder "Modulo-Rechnung" googeln.
reichix Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Vorlesung besucht zu haben bedeutet nicht zwingend, dass man den Stoff versteht.
Trotzdem Danke für deine Hilfe. Ich werde mich da wohl selber durchschlagen müssen
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Kleiner Tipp: Die beiden 7 werden zu Einsen (da ja 7 und 1 bei Division durch 3 den selben Rest lassen, nämlich eben 1). Gleiches gilt für die -2, denn bei der Division mit Rest ist der Rest immer die kleinstmögliche positive Zahl. Damit sind, wenn ich das richtig sehe, Zeilen 2 und 3 direkt miteinander identisch, so dass du eine von ihnen streichen kannst.

Ansonsten eben "ganz normal" rechnen, Zeilen zueinander addieren oder voneinander abziehen. So dass du immer nur mit ganzen Zahlen rechnest. Sobald du eine 4 da stehen hast, machst du eine 1 draus (da ja 4 und 1 bei Division durch 3 den selben Rest lassen, nämlich 1). Sobald du eine 3 oder -3 da stehen hast, machst du eine 0 draus. Also da dürfen zum Weiterrechnen dann immer nur die Zahlen 0, 1 und 2 vorkommen.
RomanGa Auf diesen Beitrag antworten »
Lgs
Hallo reichix, das in b) zu lösende lineare Gleichungssystem ist
(2 1 1 1 | 1)
(1 0 1 -2 | 1)
(7 0 1 1 | 7)

.

Wenn du noch Beratungsbedarf hast und ich meinen Lösungsweg ins Netz stellen soll, gib einfach kurz Bescheid.
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