lineare Abbildungen

18.01.2018, 09:04

reichix

lineare Abbildungen

Meine Frage:
Sei f : R2 ? R2 die lineare Abbildung mit f (0 1) = f (3 2) = (1 -1).

Bestimmen Sie ker(f ) und f (R2) sowie dim(ker(f )) und den Rang von f . Verifizieren Sie die Beziehung
dim(ker(f )) + rg(f ) = dim R2 und bestimmen Sie die Matrix von f bezüglich der kanonischen Basis.

Meine Ideen:
Ich verstehe den ersten Teil der Aufgabenstellung nicht.
Sei f : R2 ? R2 die lineare Abbildung mit f (0 1) = f (3 2) = (1 -1).

Kern, Spaltenraum, Defekt, Rang verstehe ich und weiss wie man es berechnet.

D.h. ich verstehe nicht, weshalb bei der linearen Abbildung mir drei Vektoren gegebnem werden, die alle gleichgesetzt sind.

f(0 1) ist der eine Teil des Einheitsvektors.
f(3 2) ist ein Vektor und hat als Lösung (1 -1), insofern ich das richtig deute.

Könnte mir jemand so schnell wie möglich auf die Sprünge helfen, da ich um 1200Uhr die Aufgabe hochladen muss.

Besten Danke

18.01.2018, 09:12

klarsoweit

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RE: lineare Abbildungen
Eine lineare Abbildung ist eindeutig dadurch bestimmt, daß man die Bilder einer Basis des Vektorraums angibt. Die Vektoren (0, 1) und (3, 2) bilden offensichtlich eine Basis des R². Zufälligerweise stimmen bei dieser Abbildung (das muß sonst nicht sein) die Bilder der beiden Basisvektoren wegen f((0, 1)) = f((3, 2)) = (1, -1) überein.
Jetzt mußt du schauen, wie der Kern dieser Abbildung aussieht. smile

18.01.2018, 09:44

reichix

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RE: lineare Abbildungen
Wenn ich das richtig verstanden habe, ist das Bild R2 vom Vektor f(0 1) und vom Vektor (3 2) beide Male (1 -1)?

das heisst f(R2) = (1 -1)

ker (f)
= f(lamda1 (1 0) - lamda2 (2 3)) = 0
= f(lamda1 (1 0) - (2 3)) = 0
= f(lamda1 (-1 -3)) = 0

ker(f) = {x|xR3, x=lamda1*(-3,-1))}

Da der Kern aus lamda1 (-1, -3) entwickelt wurde, genügt ein Vektor aus der Linearkombination? Wenn ja, wäre somit seine Basis B = (-1, -3)
d.h. für die Dimension würde gelten
dim(ker(f)) = |B|

Stimmt das insofern? smile

sry für die unleserliche Darstellung smile

18.01.2018, 09:50

reichix

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RE: lineare Abbildungen
f (R2) = R2

rg(f) = 1

dim(ker(f)) = 1

Jetzt muss ich noch die Beziehung von dim(ker(f )) + rg(f ) = dim R2 bestimmen.

Wie ist das zu handhaben? bzw was wird mit dim R2 gemeint?

dim(ker(f )) + rg(f ) = dim R2
1 + 1 =

bzw. in der Frage steht ja noch ich müsse f(R2) ausrechnen. Muss ich hier jetzt jeden einzelnen Vektor berechnen? f(0 0), f(1 0), f(0 1), f(1 1), f(1 2), f(2 1), f(2 2) etc?

18.01.2018, 09:59

klarsoweit

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RE: lineare Abbildungen

Zitat:

Original von reichix
Wenn ich das richtig verstanden habe, ist das Bild R2 vom Vektor f(0 1) und vom Vektor (3 2) beide Male (1 -1)?

Ungenau formuliert. Das Bild der Vektoren (0, 1) und (3, 2) ist beide Male (1, -1).

Zitat:

Original von reichix
das heisst f(R2) = (1 -1)

Nein. Was ist denn beispielsweise f((0, 2)) ?

Zitat:

Original von reichix
ker (f)
= f(lamda1 (1 0) - lamda2 (2 3)) = 0
= f(lamda1 (1 0) - (2 3)) = 0
= f(lamda1 (-1 -3)) = 0

Warum nimmst du da die Vektoren (1, 0) und (2, 3) ? Und wohin entschwindet das lambda2 ?
Und wenn man die beiden ersten Zeilen betrachtet: was soll ker (f) = f(lamda1 (1 0) - lamda2 (2 3)) = 0 bedeuten?

Zitat:

Original von reichix
ker(f) = {x|xR3, x=lamda1*(-3,-1))}

Wenn man mal $\begin{eqnarray*} Ker(f) = \{x \in R^2 ~|~ x = \lambda \cdot (-3, -1) \} \end{eqnarray*}$ schreibt, dann ist das (zufälligerweise?) richtig.

Zitat:

Original von reichix
Da der Kern aus lamda1 (-1, -3) entwickelt wurde, genügt ein Vektor aus der Linearkombination? Wenn ja, wäre somit seine Basis B = (-1, -3)
d.h. für die Dimension würde gelten
dim(ker(f)) = |B|

Das ist wiederum Unfug. Wegen $\begin{eqnarray*} Ker(f) = \{x \in R^2 ~|~ x = \lambda \cdot (-3, -1) \} \end{eqnarray*}$ ist offensichtlich der Vektor (-3, -1) oder von mir aus auch der Vektor (3, 1) eine Basis des Kerns.

18.01.2018, 10:00

reichix

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RE: lineare Abbildungen
.

18.01.2018, 10:09

klarsoweit

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RE: lineare Abbildungen

Zitat:

Original von reichix
f (R2) = R2

Das ist Unfug. Der R² wird nicht auf den kompletten R² abgebildet.

Zitat:

Original von reichix
rg(f) = 1

dim(ker(f)) = 1

Ausnahmsweise ist das richtig.

Zitat:

Original von reichix
Jetzt muss ich noch die Beziehung von dim(ker(f )) + rg(f ) = dim R2 bestimmen.

Da gibt es nichts zu bestimmen. Das gilt einfach.

Zitat:

Original von reichix
Wie ist das zu handhaben? bzw was wird mit dim R2 gemeint?

Diese Frage erschreckt mich jetzt. dim(R²) ist die Dimension des R². Was sonst?

Zitat:

Original von reichix
Muss ich hier jetzt jeden einzelnen Vektor berechnen? f(0 0), f(1 0), f(0 1), f(1 1), f(1 2), f(2 1), f(2 2) etc?

Das kannst du gerne machen. Bei den unendlich vielen Vektoren hast du einiges zu tun. Es reicht aber, wenn du die Bilder einer Basis nimmst und daraus eine linear unabhängige Familie extrahierst.

18.01.2018, 10:15

reichix

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RE: lineare Abbildungen
hahaa.. sry für den Unfug den ich hier meistere :P Ich tu mich noch etwas schwer bei diesem Thema :P Danke, dass du so geduldig bist smile

Also das Bild für f(0,2) = ist 2*f(0, 1)
für f(0, 2) = f(2, -2)
für f(0, 3) = f(3, -3)
für f(1, 0) = f(-1, 1)
für f(1, 1) = f(-1, 1) + f(1, -1) = f(0, 0)
für f(2, 0) = f(-2, 1)
für f(3, 2) = f(-2, 1) + f(2, -2)

mhmm.. für f(3,2) das stimmt nicht, was mache ich hier falsch?

das mit ker(), habe ich so ähnlich mit den Lamdas im internet gefunden Hammer

18.01.2018, 10:30

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RE: lineare Abbildungen

Zitat:

Original von reichix
Also das Bild für f(0,2) = ist 2*f(0, 1)

Das stimmt.

Zitat:

Original von reichix
für f(0, 2) = f(2, -2)
für f(0, 3) = f(3, -3)
für f(1, 0) = f(-1, 1)
für f(1, 1) = f(-1, 1) + f(1, -1) = f(0, 0)
für f(2, 0) = f(-2, 1)
für f(3, 2) = f(-2, 1) + f(2, -2)

Alles Unfug. Lies dir das mal genau durch.

Zitat:

Original von reichix
das mit ker(), habe ich so ähnlich mit den Lamdas im internet gefunden Hammer

"So ähnlich" hilft nicht. Das muß schon exakt sein. Nehmen wir einen Vektor v aus R² mit der Darstellung $\begin{eqnarray*} v = \lambda_1 \cdot (0, 1) + \lambda_2 \cdot (3, 2) \end{eqnarray*}$ . Dann ist:

$\begin{eqnarray*} f(v) = \lambda_1 \cdot f((0, 1)) + \lambda_2 \cdot f((3, 2)) = \lambda_1 \cdot (1, -1) + \lambda_2 \cdot (1, -1) \end{eqnarray*}$

Da f(v) = (0, 0) gelten soll, führt das nun auf zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Davon brauchst du eine allgemeine Lösung.

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