Cantorsche Paarungsfunktion - Bijektivität

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Emac Auf diesen Beitrag antworten »
Cantorsche Paarungsfunktion - Bijektivität
Wir sollen gerade die Cantorsche Paarungsfunktion (soll wohl so heißen) auf Injektivität und Surjektivität überprüfen und dann nachher auch noch sagen, ob diese Bijektiv ist oder nicht. Ich hänge aber leider beim Beweis der Injektivität fest.

Das ist die Funktion
[attach]46314[/attach]

und meine bisherige Bearbeitung
[attach]46315[/attach]

Nun habe ich auch schon einmal ein paar Mal weitergerechnet, stecke aber dann immer nach kurzer Zeit fest. Wenn ich jetzt bspw. Mal 2 rechne, um den Bruch wegzukriegen und dann beide Klammern etc. auflöse, dann habe ich auf beiden Seiten zwar das gleiche aber dann hat man ja immer noch nicht x1 = x2, worauf man ja dann kommen muss. Selbst wenn man auch noch die Klammern etc. auflöst, was dann?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde mich an deiner Stelle nicht sofort in die Tiefen der Formel verstricken. Schau dir erstmal an, was bei dieser Abbildung passiert, indem du "kleine" Werte für x,y einsetzt:

p(1,1) = 1
p(1,2) = 2
p(2,1) = 3
p(1,3) = 4
p(2,2) = 5
p(3,1) = 6
p(1,4) = 7
....

Oder in ein Tableau geschrieben (Spalte x, Zeile y):

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
  |  1  2  3  4
--+------------
1 |  1  2  4  7
2 |  3  5  8
3 |  6  9
4 | 10

Dann solltest du langsam auf den Trichter kommen, was bei dieser Abbildung passiert.
Emac Auf diesen Beitrag antworten »

Ein paar Werte einsetzen ist oft das erste was ich mache, einfach um vielleicht auch direkt so festzustellen das die Abbildung nicht injektiv oder surjektiv ist. Ein Gegenbeispiel genügt ja schon, um zu beweisen das etwas nicht gilt (in die andere Richtung ja nicht). Naja, zurück zu der Abbildung; Mir ist schon klar das die Abbildung wohl bijektiv ist aber den Beweis kriege ich trotz allem nicht hin, selbst mit dem "Wissen" über die Abbildung.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Diese "mir ist schon klar"-Reden kommen mir immer ein wenig altklug vor, wenn dann doch keine ernsthaften Beweisbemühungen folgen. Versuche doch das, was angeblich so klar ist, in Worte oder Formeln zu fassen!



Z.B. sinngemäß so:

Man betrachte die Funktionswerte auf der -ten Diagonale, damit sind die Punkte mit gemeint: Dort ist , und man bekommt die Funktionswerte von minimal bis hinauf zu maximal , und zwar jede natürliche Zahl in dem Bereich genau einmal. Der Startwert der -ten Diagonale ist , und das ist genau um 1 größer als . Damit ist klar

1) Innerhalb der Diagonale gibt es keine mehrfach auftretenden Werte und auch keine Lücken.

2) Die nächstgrößere Diagonale enthält auch größere Funktionswerte, wobei keine Lücke zwischen den Diagonalen auftritt, was die Folge der natürlichen Zahlen als auftretende Funktionswerte betrifft.

Zusammen mit dem einzigen Wert der allerersten Diagonale war's das an nötigem Nachweis, sowohl für Injektivität als auch Surjektivität.


Wer es drauf anlegt, kann natürlich auch gern die Umkehrfunktion explizit darstellen

. Big Laugh

(Sieht alles viel harmloser aus, wenn man es mit schreibt).
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