Rang linearer Abbildung

Neue Frage »

18.01.2018, 12:15	Anna779	Auf diesen Beitrag antworten »
Rang linearer Abbildung Meine Frage: Aufgabenstellung siehe Anhang Meine Ideen: Ich kann die Aufgabe nicht sinnvoll bearbeiten, weil mir noch nicht ganz klar ist, was es bedeutet phi und psi zu addieren siehe Rang( phi +psi). Ich bedanke mich schonmal .
18.01.2018, 12:19	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang linearer Abbildung Sind $\begin{eqnarray} \varphi, \psi \colon V \to W \end{eqnarray}$ zwei Abbildungen, so ist $\begin{eqnarray} (\varphi + \psi) \colon V \to W \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} (\varphi + \psi)(v) = \varphi(v) + \psi(v) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} v \in V \end{eqnarray}$ .
18.01.2018, 12:22	Anna779	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay aber ich habe noch nicht verstanden wie ich das dann genau aufschreibe also was ist Rang (phi+ psi) ? ist das dann Rang(phi) + Rang(psi ) ?
18.01.2018, 12:39	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Rang ist die Dimension des Bildes von $\begin{eqnarray} \phi + \psi \end{eqnarray}$ . Das hängt nicht nur vom Rang vom $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ ab. Die Aufgabe ist ja genau Abschätzungen für die beiden zu finden. Die sind sogar "scharf", d.h. man findet $\begin{eqnarray} \phi, \psi \end{eqnarray}$ so dass $\begin{eqnarray} rang( \phi + \psi) = \|n - m\| \end{eqnarray}$ und Abbildungen $\begin{eqnarray} \phi, \psi \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} rang( \phi + \psi) = n + m \end{eqnarray}$ .
18.01.2018, 14:31	Anna779	Auf diesen Beitrag antworten »
findet?
18.01.2018, 14:42	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.
Anzeige

18.01.2018, 15:08	Anna779	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht genau wie ich das notiere also was ist den der Rang von ( phi + psi)? Ich weiß zwar das Rang(phi+psi)= dim Bild( phi+psi) aber ich bin mir mir unsicher wie ich das für meine Beweisführung nutzen kann :/
18.01.2018, 15:13	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Rang hängt offenbar von $\begin{eqnarray} \phi, \psi \end{eqnarray}$ ab. Ist $\begin{eqnarray} \phi \colon \mathbb R^n \to \mathbb R^n, \phi(v) = v \end{eqnarray}$ die identische Abbildung, so ist $\begin{eqnarray} rang (\phi) = n \end{eqnarray}$ . Ist $\begin{eqnarray} \psi = -\phi \end{eqnarray}$ , so ist $\begin{eqnarray} rang(\psi) = n \end{eqnarray}$ . Und $\begin{eqnarray} \phi + \psi =0 \end{eqnarray}$ ist die Nullabbildung, d.h. $\begin{eqnarray} rang(\phi + \psi) = 0 \end{eqnarray}$ . Was eine mögliche Beweisidee wäre: Zeige, dass du $\begin{eqnarray} \|n-m\| \end{eqnarray}$ linear unabhängige Vektoren in $\begin{eqnarray} Bild(\phi+\psi) \end{eqnarray}$ findest, und du ein Erzeugendensystem mit $\begin{eqnarray} n+m \end{eqnarray}$ Vektoren davon findest. Die beiden Aussagen implizieren die Ungleichungen.
21.01.2018, 17:54	Anna779	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Problem ist woher weiß ich, dass die K-Vektorräume endlich sind ?
21.01.2018, 17:57	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Gar nicht. $\begin{eqnarray} V, W \end{eqnarray}$ können unendlich-dimensional sein. Wichtig ist aber nur $\begin{eqnarray} Bild(\phi), Bild(\psi) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Bild(phi+ \psi) \end{eqnarray}$ als Teilmengen von $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ . Die ersten beiden sind nach Annahme endlich-dimensional, und zu zeigen ist, dass der letzte Raum ebenfalls endlich-dimensional ist.
21.01.2018, 18:02	Anna779	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche ersten beiden sind endlich dimensional ?
21.01.2018, 18:04	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} Bild(\phi), Bild(\psi) \end{eqnarray}$ sind endlich-dimensional.
21.01.2018, 18:16	Anna779	Auf diesen Beitrag antworten »
Reicht es so $\begin{eqnarray} \|m-n\| = dimBild(\phi \end{eqnarray}$ )-dimBild( $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ ) = Rang( $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ )-Rang( $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} \leq Rang(\phi +\psi ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|m-n\|\leq Rang(\phi +\psi ) \end{eqnarray}$ zu zeigen ?
21.01.2018, 18:18	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Es fehlen in der ersten Zeile Beträge. Und das ist ein Teil der zu zeigenden Aussage, ja. Sobald man das hat, kann man auch noch die andere Ungleichung beweisen.
21.01.2018, 18:23	Anna779	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay vielen Dank ich denke ich habe es verstanden

Neue Frage »

Antworten »

Rang linearer Abbildung

Verwandte Themen