Dreifach-Integral berechnen

18.01.2018, 12:54	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
Dreifach-Integral berechnen Meine Frage: Hallo alle zusammen kann mir jemanden helfen bei der berechnung des dreifachen Integrals? Ich würde mich freuen wenn mir jemand helfen kann. Meine Ideen: Ich soll ja wahrscheinlich das dreifache Integral berechnen von : $\begin{eqnarray} p(x,y,z)=x^2+y^2-zx \end{eqnarray}$ Ich weiß halt nicht was die ober und untergrenze ist von den jeweiligen Integralen
18.01.2018, 13:43	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Verwende Kugelkoordinaten: $\begin{align} x &=r\sin(\theta)\cos(\varphi)\\ y &= r\sin(\theta)\sin(\varphi)\\ z &= r\cos(\theta) \end{align}$ mit dann $\begin{align} 0\leq r\leq R, -\pi\leq \varphi\leq \pi \end{align}$ sowie $\begin{align} 0\leq\theta\leq \frac{\pi}{2} \end{align}$ (bei der Voll- statt Halbkugel wäre es $\begin{align} \pi \end{align}$ statt $\begin{align} \frac{\pi}{2} \end{align}$ ) Dann ist $\begin{align} \dd V = \dd x ~ \dd y ~ \dd z = r^2\sin(\theta) ~ \dd r ~ \dd\varphi ~ \dd\theta \end{align}$ das Volumendifferential, und dein zu berechnender Integralwert ist $\begin{align} I = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \int\limits_{-\pi}^{\pi} \int\limits_0^R \left( r^2\sin^2(\theta)-r^2\cos(\theta)\sin(\theta)\cos(\varphi) \right) r^2\sin(\theta) ~ \dd r ~ \dd\varphi ~ \dd\theta = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \int\limits_{-\pi}^{\pi} \int\limits_0^R \left(\sin(\theta)-\cos(\theta)\cos(\varphi) \right) r^4\sin^2(\theta) ~ \dd r ~ \dd\varphi ~ \dd\theta \end{align}$ Die beiden inneren Integrationen bzgl. $\begin{align} r \end{align}$ sowie $\begin{align} \varphi \end{align}$ sollten keine allzu große Hürde sein. Die letzte bzgl. $\begin{align} \theta \end{align}$ ist dann geringfügig mehr Arbeit.
18.01.2018, 20:25	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Abend Hal9000 und danke für die Antwort! Danke für deine Hilfe. Ich habe als ergebnis : $\begin{eqnarray} \frac{4\piR^5}{15} \end{eqnarray*}$ ist das so korrekt ?
19.01.2018, 09:17	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das kann ich unterschreiben.

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