Wann ist Produkt zweier Rationaler Zahlen Element N?

19.01.2018, 11:33

a.f.

Wann ist Produkt zweier Rationaler Zahlen Element N?

Meine Frage:
Hallo,

ich soll die Periodendauer eines Signales $\begin{eqnarray*} x(t)=\cos(t)+\cos(t) \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Meine Ideen:
Es muss $\begin{eqnarray*} 2\pi m=\omega_1 T_0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} 2\pi n=\omega_2 T_0 \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} m, n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , d.h. es muss $\begin{eqnarray*} m+n = \frac{\omega_1+\omega_2}{2\pi}T_0 \end{eqnarray*}$ . Nun fehlt mir der Ansatz. Ich suche ja nun eine i.A. rationale Zahl $\begin{eqnarray*} T_0 \end{eqnarray*}$ sodass der rechte Ausdruck eine natürliche Zahl wird. Für Tipps wäre ich sehr dankbar.

19.01.2018, 11:35

klarsoweit

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RE: Wann ist Produkt zweier Rationaler Zahlen Element N?

Zitat:

Original von a.f.
ich soll die Periodendauer eines Signales $\begin{eqnarray*} x(t)=\cos(t)+\cos(t) \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Äh. Ist das nicht 2*cos(t) ?

19.01.2018, 11:36

a.f

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RE: Wann ist Produkt zweier Rationaler Zahlen Element N?
Ups, das Signal heißt natürlich $\begin{eqnarray*} x(t)=\cos(\omega_1t)+cos(\omega_2t) \end{eqnarray*}$

19.01.2018, 11:46

HAL 9000

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Zunächst mal muss das Verhältnis $\begin{align*} \frac{\omega_1}{\omega_2} \end{align*}$ rational sein, ansonsten ist das Signal gar nicht periodisch (sieht man z.B. daran, dass dann $\begin{align*} x(0)=2 \end{align*}$ von keinem anderen Wert $\begin{align*} x(t) \end{align*}$ wieder erreicht wird).

Sei also $\begin{align*} \frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{r}{s} \end{align*}$ mit teilerfremden $\begin{align*} r,s \end{align*}$ , dann kann man daraus dann die kleinste $\begin{align*} T_0 \end{align*}$ berechnen, z.B. über diese Überlegungen

Zitat:

Original von a.f.
Es muss $\begin{eqnarray*} 2\pi m=\omega_1 T_0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} 2\pi n=\omega_2 T_0 \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} m, n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

19.01.2018, 11:52

a.f.

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Es muss $\begin{eqnarray*} 2\pi m=\omega_1 T_0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} 2\pi n=\omega_2 T_0 \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} m, n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , d.h. es muss $\begin{eqnarray*} m+n = (\frac{\omega_1+\omega_2}{2\pi}T_0 \end{eqnarray*}$ .

Genau, das ist mir soweit auch klar. Nun soll es laut Prof. aber einen geschlossenen Ausdruck für [latex]T_0[\latex] geben, der eine eine Perioendauer (nicht unbedingt die kleinste) liefert.

19.01.2018, 11:56

HAL 9000

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Es wird keinen geschlossenen Ausdruck geben, der ohne sowas wie $\begin{align*} \operatorname{ggT}(\omega_1,\omega_2) \end{align*}$ oder $\begin{align*} \operatorname{kgV}(\omega_1,\omega_2) \end{align*}$ auskommt, wobei genau zu (er)klären ist, was man mit diesen Begriffen bei reellen und i.a. nicht ganzen Zahlen $\begin{align*} \omega_1,\omega_2 \end{align*}$ meint. Augenzwinkern

19.01.2018, 12:10

a.f.

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Zitat:

Original von HAL 9000
Es wird keinen geschlossenen Ausdruck geben, der ohne sowas wie $\begin{align*} \operatorname{ggT}(\omega_1,\omega_2) \end{align*}$ oder $\begin{align*} \operatorname{kgV}(\omega_1,\omega_2) \end{align*}$ auskommt, wobei genau zu (er)klären ist, was man mit diesen Begriffen bei reellen und i.a. nicht ganzen Zahlen $\begin{align*} \omega_1,\omega_2 \end{align*}$ meint. Augenzwinkern

Das erklärt warum ich seit Stunden im Kreis umforme Tanzen

Aber warum stellt der Prof. dann die Frage "Wie lautet die allgemeine Formel für die Periodendauer $\begin{eqnarray*} T_0 \end{eqnarray*}$ " zusammen mit dem Lösungshinweis: "Die Herleitung ist nicht trivial"

19.01.2018, 12:55

HAL 9000

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Also gut:

Sind $\begin{align*} \omega_1,\ldots,\omega_n \end{align*}$ von Null verschiedene reelle Zahlen, so wird $\begin{align*} \operatorname{ggT}(\omega_1,\ldots,\omega_n) \end{align*}$ als größte positive reelle Zahl $\begin{align*} g \end{align*}$ definiert, welche die Eigenschaft besitzt, dass sämtliche Zahlen $\begin{align*} \frac{\omega_1}{g},\ldots,\frac{\omega_n}{g} \end{align*}$ ganzzahlig sind - sofern es überhaupt solche Zahlen $\begin{align*} g \end{align*}$ gibt!

Im o.g. Fall $\begin{align*} n=2 \end{align*}$ mit $\begin{align*} \frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{r}{s} \end{align*}$ ist das $\begin{align*} \operatorname{ggT}(\omega_1,\omega_2) = \frac{\omega_1}{r} = \frac{\omega_2}{s} \end{align*}$ , und es ergibt sich $\begin{align*} T_0 = \frac{2\pi}{\operatorname{ggT}(\omega_1,\omega_2)} \end{align*}$ als Periode der Funktion $\begin{align*} \cos(\omega_1 t)+\cos(\omega_2 t) \end{align*}$ .

P.S.: Sind sämtliche $\begin{align*} \omega_1,\ldots,\omega_n \end{align*}$ ganzzahlig, dann stimmt die o.g. Definition des ggT natürlich mit der "üblichen" Definition überein.

Beispiel 1: $\begin{align*} \omega_1=6,\,\omega_2=9 \end{align*}$ , da ist $\begin{align*} \operatorname{ggT}(6,9)=3 \end{align*}$ und es folgt $\begin{align*} T_0 = \frac{2\pi}{3}\approx 2.094 \end{align*}$ als Periode von $\begin{align*} \cos(6t)+\cos(9t) \end{align*}$ :

Beispiel 2: $\begin{align*} \omega_1=1,\,\omega_2=\sqrt{2} \end{align*}$ . Hier ist der Quotient irrational, es gibt kein ggT und auch keine periodische Summe.

19.01.2018, 20:30

a.f.

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Vielen Dank für die ausführliche Klarstellung. Eine letzte Frage hätte ich noch: Die Operation $\begin{eqnarray*} ggT(\omega_1,...,\omega_n) \end{eqnarray*}$ lässt sich nur als Algorithmus, nicht aber als geschlossenen Ausdruck formulieren, richtig?

22.01.2018, 11:33

HAL 9000

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"Geschlossener Ausdruck" ist immer auch ein wenig Ansichtssache, mancher zählt womöglich ggT als erlaubte Funktion in solchen geschlossenen Ausdrücken. Allein mit den vier Grundrechenarten geht es jedenfalls nicht, insoweit stimme ich dir zu. Augenzwinkern

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