Wann ist Produkt zweier Rationaler Zahlen Element N?

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a.f. Auf diesen Beitrag antworten »
Wann ist Produkt zweier Rationaler Zahlen Element N?
Meine Frage:
Hallo,

ich soll die Periodendauer eines Signales bestimmen.

Meine Ideen:
Es muss sowie wobei , d.h. es muss . Nun fehlt mir der Ansatz. Ich suche ja nun eine i.A. rationale Zahl sodass der rechte Ausdruck eine natürliche Zahl wird. Für Tipps wäre ich sehr dankbar.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wann ist Produkt zweier Rationaler Zahlen Element N?
Zitat:
Original von a.f.
ich soll die Periodendauer eines Signales bestimmen.

Äh. Ist das nicht 2*cos(t) ?
 
 
a.f Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wann ist Produkt zweier Rationaler Zahlen Element N?
Ups, das Signal heißt natürlich
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal muss das Verhältnis rational sein, ansonsten ist das Signal gar nicht periodisch (sieht man z.B. daran, dass dann von keinem anderen Wert wieder erreicht wird).

Sei also mit teilerfremden , dann kann man daraus dann die kleinste berechnen, z.B. über diese Überlegungen

Zitat:
Original von a.f.
Es muss sowie wobei
a.f. Auf diesen Beitrag antworten »

Es muss sowie wobei , d.h. es muss .

Genau, das ist mir soweit auch klar. Nun soll es laut Prof. aber einen geschlossenen Ausdruck für [latex]T_0[\latex] geben, der eine eine Perioendauer (nicht unbedingt die kleinste) liefert.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es wird keinen geschlossenen Ausdruck geben, der ohne sowas wie oder auskommt, wobei genau zu (er)klären ist, was man mit diesen Begriffen bei reellen und i.a. nicht ganzen Zahlen meint. Augenzwinkern
a.f. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Es wird keinen geschlossenen Ausdruck geben, der ohne sowas wie oder auskommt, wobei genau zu (er)klären ist, was man mit diesen Begriffen bei reellen und i.a. nicht ganzen Zahlen meint. Augenzwinkern


Das erklärt warum ich seit Stunden im Kreis umforme Tanzen
Aber warum stellt der Prof. dann die Frage "Wie lautet die allgemeine Formel für die Periodendauer " zusammen mit dem Lösungshinweis: "Die Herleitung ist nicht trivial"
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Also gut:

Sind von Null verschiedene reelle Zahlen, so wird als größte positive reelle Zahl definiert, welche die Eigenschaft besitzt, dass sämtliche Zahlen ganzzahlig sind - sofern es überhaupt solche Zahlen gibt!

Im o.g. Fall mit ist das , und es ergibt sich als Periode der Funktion .

P.S.: Sind sämtliche ganzzahlig, dann stimmt die o.g. Definition des ggT natürlich mit der "üblichen" Definition überein.



Beispiel 1: , da ist und es folgt als Periode von :




Beispiel 2: . Hier ist der Quotient irrational, es gibt kein ggT und auch keine periodische Summe.

a.f. Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die ausführliche Klarstellung. Eine letzte Frage hätte ich noch: Die Operation lässt sich nur als Algorithmus, nicht aber als geschlossenen Ausdruck formulieren, richtig?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

"Geschlossener Ausdruck" ist immer auch ein wenig Ansichtssache, mancher zählt womöglich ggT als erlaubte Funktion in solchen geschlossenen Ausdrücken. Allein mit den vier Grundrechenarten geht es jedenfalls nicht, insoweit stimme ich dir zu. Augenzwinkern
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