Hausdorffdimension ermitteln

19.01.2018, 17:12

Studentu

Hausdorffdimension ermitteln

Hallo Community,

folgendes Beispiel zur Hausdorffdimension versuche ich zu lösen, aber mir fehlt leider jede Idee dazu:

a) Sei $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} C^1 \end{eqnarray*}$ -Weg: $\begin{eqnarray*} [0,1] \rightarrow \mathbb R, \gamma(0) \neq \gamma(1) \end{eqnarray*}$ .
Zeige mit und ohne der 1-dim. Flächenformel, dass $\begin{eqnarray*} dim_{\mathcal H}(\gamma([0,1]) \leq 1 \end{eqnarray*}$ .

b) M sei eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^m \end{eqnarray*}$ , die einen Atlas aus endlich vielen Karten $\begin{eqnarray*} f_i \end{eqnarray*}$ mit relativ kompaktem Bild in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ hat.
Zeige, dass die Hausdorffdimension von M gleich n ist und 0< $\begin{eqnarray*} H^n(M)< \end{eqnarray*}$ (aufgefasst als Teilmenge des metrischen Raumes ( $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n, d \end{eqnarray*}$ )

Die Definitionen von Hausdorffmaß und Hausdorffdimension sind mir bekannt.
In a) bin ich auch am Teil des Zeigens mit der Flächenformel gescheitert, weil man in der Formel ja den abgeleiteten Wegvektor drinnen hat, aber den kennen wir in dem Fall nicht?

Naheliegend wäre wsl., die Beispiele mit Überdeckungen und direkt der Dimension vom Hausdorffmaß zu lösen, aber mir sind bislang keine geeigneten Überdeckungen eingefallen.

23.01.2018, 02:01

Studentu

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Kennt sich denn hier niemand mit dem Hausdorffmaß aus?

23.01.2018, 10:51

IfindU

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Daran musst du dich wohl gewöhnen. Je weiter du im Studium bist, desto schwerer wird es jemanden zu finden, der sich damit auskennt Augenzwinkern

Ich kenne die 1-dim. Flächenformel nicht wirklich bzw. was damit gemeint ist. Es würde mich aber wundern, wenn du mehr bräuchtest als dass $\begin{eqnarray*} \sup_{t\in[0,1]} |\gamma'(t)| < \infty \end{eqnarray*}$ ist.
Ohne den Satz: $\begin{eqnarray*} C^1 \end{eqnarray*}$ Funktionen auf Kompakta sind Lipschitz-stetig. Sei $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ die Lipschitzkonstante. Unterteile $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gleich grosse Teilintervalle mit den Grenzen $\begin{eqnarray*} x_k:= \frac k n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k =0, \ldots, n \end{eqnarray*}$ . Dann ist
$\begin{eqnarray*} |\gamma (x_k) - \gamma(x_{k-1}) | \leq L | x_k - x_{k-1} | = \frac L n \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} |\gamma (x_k) - \gamma(t) |\leq \frac L n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t\in (x_{k-1}, x_k) \end{eqnarray*}$ .
Das heisst $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Bälle mit Radius $\begin{eqnarray*} L/n \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} \gamma(x_n) \end{eqnarray*}$ überdecken die Kurve.

Edit: Kleiner Nachtrag: $\begin{eqnarray*} \gamma(0) \neq \gamma(1) \end{eqnarray*}$ ist nur dafür da, wenn man zeigen willst, dass die Hausdorffdimension genau 1 ist.

23.01.2018, 17:48

Studentu

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Hallo IfindU, danke, dass du mir hier auch noch hilfst. (Ja, den Moment, in dem sich außer dem Prof. quasi niemand mehr mit dem behandelten Stoff auskennt, fürchte ich eh schon. ^^)

Die Flächenformel für stetig differenzierbare Wege ist einfach die aus Ana2 bekannte:
$\begin{eqnarray*} H^1(\gamma(t)) = \int_0^1|\gamma'(t)|dt \end{eqnarray*}$ .
Nun ist $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ stetig differenzierbar auf kompaktem Intervall also beschränkt. Sei M das Maximum, den sein Betrag annimmt. Dann ist $\begin{eqnarray*} H^1(\gamma(t))\leq M < \infty \end{eqnarray*}$ , also die Dimension kleiner-gleich 1.

Ohne Flächenformel habe ich es auch ewig versucht, aber die Lipschitzbedingung ist wohl wirklich genau das, was mir gefehlt hat. (Es wundert mich nur, dass man die da braucht, weil "Lipschitz" im ganzen Skript kein einziges mal vorkommt.)
Jedenfalls folgt mit der Lipschitzbedingung von dir dann:
$\begin{eqnarray*} H_{\delta}^1({\gamma}) \leq \omega_1 \cdot \frac{\frac{2L}{n}}{2} < \infty \end{eqnarray*}$ und somit wieder $\begin{eqnarray*} dim_H \leq 1 \end{eqnarray*}$ .

a) sollte somit geschafft sein (:

Hast du zu b) denn auch eine Idee?

23.01.2018, 18:14

IfindU

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Die a) sieht gut aus.

Zur b):
Um zu zeigen, dass die Hausdorff-Dimension können wir annehmen, dass wir eine globale Karte haben (der allgemeine Fall folgt mit der Dreiecksungleichung).
Die Frage ist nun wie regulär die Karte ist. Ich vermute ein Diffeomorphismus? Dann könnten wir wohl vermutlich wieder annehmen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Lipschitz ist und das gleiche Argument wie eben funktioniert.

24.01.2018, 04:06

Studentu

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Hallo IfindU, bei uns steht normalerweise immer dabei, wie oft die Mannigfaltigkeit (und somit die Karten) differenzierbar ist, also z.B. $\begin{eqnarray*} C^k- \end{eqnarray*}$ Mannigfaltigkeit.

Aber ich denke, es wird in der Angabe wohl mindestens einmal stetige Differenzierbarkeit gemeint sein...

Kannst du aber bitte noch genauer schreiben, wie man vorheriges Vorgehen auf Teil b) anwenden kann? Mir sind Karten nämlich sehr suspekt, da ist es mir leichter gefallen, mir das beim Weg vorzustellen.

Ich habe außerdem folgenden Satz entdeckt, der sehr ähnlich zur Lipschitz-Bedingung aussieht (nur umgedreht), also vlt. hilft:

Ist $\begin{eqnarray*} \Phi: \Omega \subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ offen $\begin{eqnarray*} \rightarrow \mathbb R^m \end{eqnarray*}$ eine injektive stetig differenzierbare Abbildung, für die $\begin{eqnarray*} d \Phi \end{eqnarray*}$ auf einer kompakten Teilmenge K von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ Rang n hat, so gibt es eine Konstante C mit $\begin{eqnarray*} |x-y| \leq C |\Phi(x) - \Phi(y)| \forall x,y \in K \end{eqnarray*}$ .
Weißt du, ob da mit Rang der Spalten- oder Zeilenrang gemeint ist?

Und hast du eine Idee, ob man mit dem Satz zeigen könnte, dass für das Hausdorffmaß der Dimension m<n gilt, dass $\begin{eqnarray*} H^m(A)\geq H^m(pr(A)) \end{eqnarray*}$ , wenn pr die Projektion auf die ersten m<n Koordinaten bezeichnet? (Ich habe u.a. versucht, dafür anzuwenden, dass $\begin{eqnarray*} H^n(L(A)) = \sqrt{det L^TL} \end{eqnarray*}$ für lineare Abbildungen $\begin{eqnarray*} L: \mathbb R^n \rightarrow R^m \end{eqnarray*}$ (wobei in der Voraussetzung eben keine Aussage über das Verhältnis von n und m getätigt wird), aber das funktioniert ja irgendwie nicht, weil wir in dem Satz $\begin{eqnarray*} H^n \end{eqnarray*}$ haben, aber $\begin{eqnarray*} H^m \end{eqnarray*}$ gefragt ist...

24.01.2018, 13:27

IfindU

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Zitat:

Original von Studentu
Kannst du aber bitte noch genauer schreiben, wie man vorheriges Vorgehen auf Teil b) anwenden kann? Mir sind Karten nämlich sehr suspekt, da ist es mir leichter gefallen, mir das beim Weg vorzustellen.

Nehmen wir mal an, es gibt $\begin{eqnarray*} \omega \subset \mathbb R^m \end{eqnarray*}$ offen, und $\begin{eqnarray*} f \colon \omega \to M \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} f \in C^1 \end{eqnarray*}$ eine Karte mit relativ kompakten Bild. Mit dem Satz unten kann man folgern, dass man $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig-differenzierbar auf $\begin{eqnarray*} f \colon \overline \omega \to \overline M \end{eqnarray*}$ fortsetzen kann (glaub ich).

Dann nimmt man sich, anstatt Intervallen der länge $\begin{eqnarray*} 1/k \end{eqnarray*}$ nun $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ -Hyperwürfel mit Kantenlänge $\begin{eqnarray*} 1/k \end{eqnarray*}$ . Hoffentlich braucht man nicht zu viele davon. Und damit kann man sich mit der Lipschitz-bedingung wieder eine passende Überdeckung von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ basteln.

Zitat:

Original von Studentu
Ich habe außerdem folgenden Satz entdeckt, der sehr ähnlich zur Lipschitz-Bedingung aussieht (nur umgedreht), also vlt. hilft:

Das ist die Lipschitzbedingung, bloss für $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1} \end{eqnarray*}$ . Man hat also die Lipschitz-stetigkeit von $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ genommen, angenommen $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ erfüllt die Voraussetzungen vom Satz der Umkehrfunktion genommen und daraus die Ungleichung gefolgert (so in etwa).

Zitat:

Original von Studentu
Weißt du, ob da mit Rang der Spalten- oder Zeilenrang gemeint ist?

Offenbar hast du in Linearer Algebra nicht besonders gut aufgepasst Augenzwinkern

Es gilt immer Spaltenrang=Zeilenrang .

Zitat:

Original von Studentu
Und hast du eine Idee, ob man mit dem Satz zeigen könnte, dass für das Hausdorffmaß der Dimension m<n gilt, dass $\begin{eqnarray*} H^m(A)\geq H^m(pr(A)) \end{eqnarray*}$ , wenn pr die Projektion auf die ersten m<n Koordinaten bezeichnet?

Für generisches $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ? Ich bezweifle, dass es geht. Stattdessen kann man es leicht mit der Definition zeigen. Ist $\begin{eqnarray*} (U_i)_{i} \end{eqnarray*}$ eine Überdeckung von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} ( pr(U_i))_i \end{eqnarray*}$ eine Überdeckung von $\begin{eqnarray*} pr(A) \end{eqnarray*}$ .

24.01.2018, 21:39

Studentu

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Zitat:

Bild. Mit dem Satz unten kann man folgern

Welchen Satz meinst du denn? Und wieso ist es wichtig, dass der Rand auch dabei ist?

Und den Durchmesser dieser Würfel können wir dann mit der Konstante aus dem Satz, den ich geschrieben habe, abschätzen? Oder nur direkt mit der aus der Lipschitzbedingung?

Zitat:

Es gilt immer Spaltenrang=Zeilenrang .

Das war mir tatsächlich nicht mehr in Erinnerung un kommt mir nicht einmal bekannt vor Finger1

Danke für die Klarstellung!

Wieso gilt das mit der Überdeckung automatisch? (Also bildlich vorgestellt ist es mir so in etwa klar, weil die Projektion ja weniger Raum einnimmt als die ursprünglich Menge, aber ich kenne nur für bijektives f einen Satz, der besagt, dass f(C_i) genau dann eine Überdeckung von f(A) ist, wenn (C_i) eine Überdeckung von A ist. Und mir ist schon bewusst, dass das "genau dann wenn" in unserem Fall nicht gilt, aber dass die eine Richtung gilt, müsste man trotzdem noch zeigen, nur weiß ich nicht wie? Das eine ist ja im Rm und das andere im Rn?

25.01.2018, 08:27

IfindU

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Also es geht so ziemlich immer um die Lipschitzkonstante. Die Frage ist, ob $\begin{eqnarray*} f \colon \omega \to M \end{eqnarray*}$ Lipschitzstetig ist.Wäre $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ kompakt, folgt das sofort weil $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig differenzierbar ist. Daher wollte ich es einfach auf eine abgeschlossene Menge fortsetzen, argumentieren, dass es wegen dem kompakten Bild von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch beschränkt ist und dann einfach abstrakt argumentieren.

Man wird vermutlich auch direkt argumentieren können, warum $\begin{eqnarray*} L:= \sup_{x\in\omega} |\nabla f(x)| < \infty \end{eqnarray*}$ gilt. Damit wäre $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ dann Lipschitzstetig. Man wird wohl benutzen müssen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ kompaktes Bild hat, aber ich seh gerade kein überzeugendes Argument. Ich überlege mal noch ein wenig.

Was die Überdeckungen betrifft, so ist das eine die trivale Folgerung:
Seien $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ beliebige Mengen und $\begin{eqnarray*} f \colon X \to Y \end{eqnarray*}$ eine beliebige Abbildung. Sind $\begin{eqnarray*} A \subset B \subset X \end{eqnarray*}$ beliebige Mengen, dann gilt $\begin{eqnarray*} f(A) \subset f(B) \subset f(X) \subset Y \end{eqnarray*}$ .

Es hat also nichts mit $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ zu tun, mit Regularität der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ oder sonst etwas. Das folgt alles aus Definition von "Teilmenge" und "Funktion". Und vermutlich hast du das mal im ersten Semester (oder vorher) mal gemacht.

Edit: Spaltenrang=Zeilenrang gilt wohl nur über Körpern. Nicht, dass Analytiker mit etwas anderem arbeiten, aber ich wollte es dennoch klarstellen Big Laugh

11.04.2018, 17:41

Studentu

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Hallo IfindU,

hiermit möchte ich mich dafür entschuldigen, dass ich auf deinen Beitrag (ebenso in einem anderen Thread) dann nicht mehr geantwortet habe. Finger1

Die Fragen haben sich erledigt (bzw. sind mir durch deinen Input klar geworden).
Du warst dabei eine wirklich riesengroße Hilfe und dafür bin ich dir immens dankbar!!!! <3 Freude

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