Ableitung

19.01.2018, 19:11

carlosmer

Ungerade/gerade Funktionen: Integral/Ableitung

Meine Frage:
Guten Tag!

Jetzt geht es mal um die Umkehrung der viel bekannten Aussagen:

f:R->R diffbar

a) f' ungerade => f gerade
b) f' gerade => f ungerade

Frage: Stimmt oder falsch?

Meine Ideen:

b) ist einfach ein Gegenbeispiel zu finden:
f(x)= x+1 reicht schon, das ist weder gerade noch ungerade, aber f'(x)=1 ist gerade

Das funktioniert wegen der additiven Verschiebung die man f mitgeben kann, die also die Ungeradigkeit verletzt, aber dann in der Ableitung verschwindet sodass diese gerade ist.

Bei a kann ich das nicht, kann mir jemand helfen?

Bitte elementar,

Auf bald!

19.01.2018, 19:33

Helferlein

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Betracht $\begin{align*} \int\limits_{-x}^x~f'(x)~dx \end{align*}$

19.01.2018, 22:02

carlosmer

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Hallo und danke für die Idee!

Zitat:

Original von Helferlein
Betracht $\begin{align*} \int\limits_{-x}^x~f'(x)~dx \end{align*}$

Eigentlich würde ich das gerne - sofern irgendwie möglich - ohne Intergralrechnung, also mit ganz elementare Analysis machen.

Mit deiner Idee sollte das jetzt ganz einfach gehen:

Also für die (a) nehmen wir ja an: f' ungerade, das heißt $\begin{eqnarray*} f'(x)=-f'(-x) \;\; \forall x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} \int\limits_{-x}^x f'(x) \mathrm dx = \int\limits_{-x}^0 f'(x) \mathrm dx +\int\limits_{0}^x f'(x) \mathrm dx \overset{x'=-x}{=} \int\limits_{x'}^0 \underbrace { f'(-x')}_{=-f'(x')} \mathrm d(-x') +\int\limits_{0}^x f'(x) \mathrm dx = \int\limits_{-x'}^0 f'(x') \mathrm dx' +\int\limits_{0}^x f'(x) \mathrm dx = - \int\limits_{0}^{x'} f'(x') \mathrm dx' +\int\limits_{0}^x f'(x) \mathrm dx=0 \end{eqnarray*}$
Andererseits:
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-x}^x f'(x) \mathrm dx = f(x)-f(-x) \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x)-f(-x)=0 \Rightarrow f(x)=f(-x) \end{eqnarray*}$ und dann ist f gerade.

Warum funktioniert der Beweis nicht bei f' gerade?
Dann ist $\begin{eqnarray*} \int\limits_{-x}^x f'(x) \mathrm dx = 2 \int\limits_0^x f'(x) \mathrm dx =2 \left(f(x)-f(0)\right) \end{eqnarray*}$
Andererseits: $\begin{eqnarray*} \int\limits_{-x}^x f'(x) \mathrm dx = f(x)-f(-x) \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x)-f(-x)=2 \left(f(x)-f(0)\right) \Rightarrow \end{eqnarray*}$ .... Und da sieht man, dass das nur funktioniert, wenn f(0)=0. Denn dann können wir folgern f(x)=-f(-x), also f ungerade.

---

Nun bin ich aber weiterhin an einer (elementaren) Lösung ohne Integral interessiert.
Die Aufgabe (b) kann man ja auch über die klassische Definition Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten beweisen...

21.01.2018, 00:40

10001000Nick1

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Der obige Beweis funktioniert nur, falls $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig differenzierbar ist. (Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion muss nicht riemann-integrierbar sein; und der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung benötigt Stetigkeit des Integranden.)

Eine andere Möglichkeit, die die Stetigkeit der Ableitung nicht benötigt (und auch keine Integralrechnung) ist, sich die Funktion $\begin{eqnarray*} h: \mathbb R\to\mathbb R, h(x):= f(x)-f(-x) \end{eqnarray*}$ anzuschauen.
Was ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ? Und was schließt du daraus?

Ähnlich kann man für b), also falls $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ gerade ist, zeigen: Die Funktion $\begin{eqnarray*} g: \mathbb R\to\mathbb R, g(x):=f(x)-f(0) \end{eqnarray*}$ ist ungerade. ( $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist also bis auf eine additive Konstante eine ungerade Funktion.)

25.01.2018, 21:16

carlosmer

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Eine andere Möglichkeit, die die Stetigkeit der Ableitung nicht benötigt (und auch keine Integralrechnung) ist, sich die Funktion $\begin{eqnarray*} h: \mathbb R\to\mathbb R, h(x):= f(x)-f(-x) \end{eqnarray*}$ anzuschauen.
Was ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ? Und was schließt du daraus?
...

Danke, das ist durchaus hilfreich
Dieses ist nämlich null und somit konstant. Mit Wert h(0)=0 erhält man dann: f(x)-f(-x)=0 und somit ist f gerade.

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