Komplexe Zahl

20.01.2018, 10:49

Sarah500

Komplexe Zahl

Hallo,
ich soll eine komplexe Zahl in der Form $\begin{eqnarray*} x+iy \end{eqnarray*}$ angeben.
Kann man $\begin{eqnarray*} i^n \end{eqnarray*}$ noch irgendwie vereinfachen, um auf diese Form zu kommen ?

20.01.2018, 11:15

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Potenzen von $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ drehen sich im Kreis und es ist $\begin{eqnarray*} i^n\in \{1,i,-1,-i\} \end{eqnarray*}$ . Die genaue Bedingung kannst du leicht angeben, indem du den Rest von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bei der Division durch $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ betrachtest.

20.01.2018, 11:18

Sarah500

Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du damit, dass i^n =1 für n=4k, z.b?

20.01.2018, 11:20

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Beispiel dieses, ja. Die 3 anderen Beispiele sind genau so leicht zu finden.

20.01.2018, 11:24

Sarah500

Auf diesen Beitrag antworten »

D.h 1.) i^n = 1 für n=4k
2.) i^n = i für n=4k+1
3.) i^n =-1 für n=4k+2
4.) i^n = -i für n=4k+3

Kann man das so schreiben?

20.01.2018, 11:31

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu erwähnst du noch, dass dies für alle $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ (oder sogar für alle $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ) gilt, dann ist das perfekt. Wenn du allerdings jede der 4 Potenzen von $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ in der Form $\begin{eqnarray*} x+iy \end{eqnarray*}$ angeben willst, musst du noch etwas nachbessern.

20.01.2018, 11:36

Sarah500

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke

Aber was muss ich nachbessern?

20.01.2018, 11:45

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Beispiel
$\begin{eqnarray*} \forall n=4k,k\in\mathbb N\Rightarrow i^n=1=1+0*i \end{eqnarray*}$

20.01.2018, 11:48

Sarah500

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir

Jetzt habe ich es verstanden smile

Was wäre wenn ich $\begin{eqnarray*} i^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ habe?

20.01.2018, 12:00

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Problem, wegen $\begin{eqnarray*} \frac 1 i=\frac {-i}{i\cdot(-i)}=-i \end{eqnarray*}$ kann man auch alle rationalen Potenzen von $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ berechnen.

Da hab ich mich vertan. Wurzeln gehen aber auch ganz einfach. Jedenfalls liegt alles auf dem Einheitskreis. Benutze Polarkoordinaten.

20.01.2018, 12:11

Sarah500

Auf diesen Beitrag antworten »

also
$\begin{eqnarray*} i=e^{\frac{\pi}{2}i} \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} i^n=e^{\frac{\pi}{2}in} \end{eqnarray*}$

Wie läuft mein n jetzt?

20.01.2018, 13:01

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du suchst nicht die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -ten Potenzen $\begin{eqnarray*} i^n=e^{i\frac \pi 2n} \end{eqnarray*}$ sonder die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -ten Wurzeln $\begin{eqnarray*} i^{\frac 1 n}=e^{i\frac \pi {2n}} \end{eqnarray*}$
Nach Euler ist $\begin{eqnarray*} e^{i\varphi}=cos(\varphi)+i \cdot sin(\varphi) \end{eqnarray*}$ also eine $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Wurzel aus $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} i^{\frac 1 n}=e^{i\frac \pi {2n}}=cos(\frac \pi {2n})+i \cdot sin(\frac \pi {2n}) \end{eqnarray*}$

Zu jeder komplexen Zahl gibt es allerdings n verschiedene n-te Wurzeln. So schön kann Mathematik sein (n=2,3,4,5,6,7):

20.01.2018, 13:07

Sarah500

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt, sorry natürlich muss ich durch n teilen.
Aber danke für deine anschauliche Erklärung Freude

Aber wie kriege ich die Form x+iy.
Es gibt doch viele Möglichkeiten oder geht das kompakt allgeimein?

20.01.2018, 13:45

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Sicher geht das komplett allgemein. Die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Wurzel aus $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ mit dem kleinsten Argument (Winkel zur $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse) auf dem Einheitskreis habe ich dir berechnet. Die $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ weiteren $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -ten Wurzeln aus $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ verteilen sich gleichmäßig auf dem Einheitskreis. Zusammen bilden die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -ten Wurzeln ein gleichmäßiges $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Eck.

20.01.2018, 23:43

Sarah500

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wie schreibe ich das dann allgemein in der Form x+iy. Geht das überhaupt?

21.01.2018, 11:28

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das geht prima. Ich bin etwas erstaunt, dass du das nicht selbst machst - so bleibt mir der ganze Spaß.

Für die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Wurzel aus $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ mit dem kleinsten Argument $\begin{eqnarray*} \varphi \in (0,2\pi] \end{eqnarray*}$ haben wir ja schon gefunden $\begin{eqnarray*} i^{\frac 1 n}=e^{\frac {i\pi}{2n}}=cos(\frac {\pi}{2n})+i\cdot sin(\frac {\pi}{2n}) \end{eqnarray*}$ . Die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -ten Einheitswurzeln $\begin{eqnarray*} e^{\frac {2\pi ik}{n}}=cos(\frac {2\pi k}{n})+i\cdot sin(\frac {2\pi k}{n}) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0,...,n-1 \end{eqnarray*}$ drehen diesen Punkt genau so, dass wir daraus genau alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -ten Wurzeln aus $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ erhalten. Das sind die Zahlen $\begin{eqnarray*} \{e^{\frac {i\pi}{2n}}\cdot e^{\frac {2\pi i k}{n}}:k=0,...,n-1\}=\{e^{\frac {i\pi(1+4k)}{2n}}:k=0,...,n-1\}=\{cos(\frac {\pi(1+4k)}{2n})+i\cdot sin(\frac {\pi(1+4k)}{2n}):k=0,...,n-1\} \end{eqnarray*}$ .

Das Beispiel hättest du bearbeiten sollen, dann wüsstest du jetzt ein für alle mal, wie man alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -ten Wurzeln aus einer beliebigen komplexen Zahl in Polarkoordinaten berechnet und in cartesischen Koordinaten darstellt. Guter Rat: Berechne die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -ten Wurzeln für beliebiges $\begin{eqnarray*} z\in \mathbb C \end{eqnarray*}$ , dann war die Mühe nicht vergebens. Wenn du das nicht kannst, berechne sie wenigstens für $\begin{eqnarray*} z=1+i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z=-2+3i \end{eqnarray*}$ .

21.01.2018, 13:56

Sarah500

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir

Ich habe noch dazu 2 Fragen.
Warum hast du bei dem vorletzen "=" das umgeschrieben mit 4 usw?

2. Wenn ich jetzt die Darstellung x+iy haben will, muss ich ja n Werte einsetzen, und bekomme ja dann n Zahlen?

22.01.2018, 14:54

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sarah500
Warum hast du bei dem vorletzen "=" das umgeschrieben mit 4 usw?

Da wurde zusammengefasst, damit es etwas übersichtlicher wird.

Zitat:

Original von Sarah500
muss ich ja n Werte einsetzen, und bekomme ja dann n Zahlen?

Ja. Siehe auch unseren Workshop.

Viele Grüße
Steffen

22.01.2018, 18:26

Sarah500

Auf diesen Beitrag antworten »