Ableitung von exp(x)

20.01.2018, 13:10

Snexx_Math

Ableitung von exp(x)

Hallo zusammen,

ich soll beweisen, dass die Ableitung $\begin{eqnarray*} exp: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ wieder exp ist.

Mein Ansatz:

zu zeigen : $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{exp(x+h)- exp(x)}{h} \end{eqnarray*}$ existiert

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{exp(x+h)- exp(x)}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{exp(x)\cdot exp(h)- exp(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{exp(x)\cdot (exp(h)- 1)}{h} = .... ??? \end{eqnarray*}$

Ich komme hier nicht weiter , weil ich nicht weiß, wie ich $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ aus dem Nenner bekomme ( ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} exp(0)=1 \end{eqnarray*}$ , daher müsste $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}exp(h)-1 = 0 \end{eqnarray*}$

LG

Snexx_Math

20.01.2018, 13:13

Leopold

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Die Umformung ist richtig. Jetzt mußt du noch

$\begin{align*} \lim_{h \to 0} \frac{\exp(h) - 1}{h} \end{align*}$

bestimmen. Wie du das machen mußt, kann ich dir nicht sagen, da das ganz davon abhängt, wie die Exponentialfunktion bei euch eingeführt wurde. Und leider sitze ich nicht in der Vorlesung.

20.01.2018, 13:33

Snexx_Math

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Das Ding ist, ich weiß ja schon aus der Schule das die Ableitung wieder $\begin{eqnarray*} exp(x) \end{eqnarray*}$ ist.

Daher müsste $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{exp(h)-1}{h} = 1 \end{eqnarray*}$

Aber das ist mir nicht klar. Eingeführt haben wir die Exponentialfunktion durch die Exponentialreihe, also $\begin{eqnarray*} exp(x) := \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} \end{eqnarray*}$

Aber die Reihe kann ich ja schlecht verwenden.

Ich wüsste jetzt noch aus der Schule und auch aus einer späteren Verwendung auf dem Übungsblatt, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }(1+ \frac{1}{n})^{n} = e \end{eqnarray*}$

20.01.2018, 13:38

Leopold

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Zitat:

Original von Snexx_Math
Eingeführt haben wir die Exponentialfunktion durch die Exponentialreihe, also $\begin{eqnarray*} exp(x) := \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} \end{eqnarray*}$

Aber die Reihe kann ich ja schlecht verwenden.

Doch. Das geht wunderbar und schnell.

20.01.2018, 14:05

Snexx_Math

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Zitat:

Doch. Das geht wunderbar und schnell.

Dann versuch ich mal :

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{exp(h)-1}{h}= \lim_{h \to 0} \frac{\sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{h^{n}}{n!}}{h} - \frac{1}{h}= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} + \frac{h}{h} + \frac{\sum\limits_{n=2}^{\infty } \frac{h^{n}}{n!}}{h} - \frac{1}{h} = \lim_{h \to 0} 1 + \frac{\sum\limits_{n=2}^{\infty } \frac{h^{n}}{n!}}{h} = 1 \end{eqnarray*}$

Richtig ?

Somit folgt: $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{exp(x)(exp(h)-1)}{h} = exp(x) \cdot 1 =exp(x) \end{eqnarray*}$

20.01.2018, 14:20

Leopold

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Umständlich aufgeschrieben und mit fehlenden Klammern. Sonst aber stimmt es.
(Und warum ist der Grenzwert jetzt 1?)

20.01.2018, 14:37

Snexx_Math

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Warum 1 :

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} 1+ \sum\limits_{n=2}^{\infty } \frac{1}{h} \frac{h^{n}}{n!} = \lim_{h \to 0} 1+ \sum\limits_{n=2}^{\infty } \frac{h^{n-1}}{n!} = 1+\sum\limits_{n=2}^{\infty } \frac{0^{n-1}}{n!} =1 \end{eqnarray*}$

und was ist warum umständlich aufgeschrieben ?

20.01.2018, 17:10

Leopold

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Na ja, warum teilst du jedes Glied durch $\begin{align*} h \end{align*}$ ? Wo ist der Vorteil?
Ich hätte so gerechnet:

$\begin{align*} \frac{1}{h} \left( -1 + \exp(h) \right) = \frac{1}{h} \cdot \left( -1 + 1 + h + \frac{1}{2} h^2 + \ldots \right) = 1 + \frac{1}{2} h + \ldots \to 1 \ \ \mbox{für} \ \ h \to 0 \end{align*}$

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