Untergruppen einer Gruppe der Ordnung p^2

Neue Frage »

telli Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppen einer Gruppe der Ordnung p^2
Meine Frage:
Hallo,
Ich soll beweisen, dass die Anzahl der Untergruppen einer Gruppe von der Ordnung p^2 kleiner oder gleich p + 3 ist. (siehe Bild)

[attach]46339[/attach]

Meine Ideen:
Bei meinem Versuch die Aussage zu Beweisen komme ich zum Schluss, dass
n <= p + 2 ist (und nicht etwa n <= p + 3) dann folgere ich einfach, dass auch <= p + 3 gelten muss aber das finde ich etwas doof habe so ein schlechtes Gefühl dabei. Kann mir vielleicht jemand meinen Lösungsweg kommentieren bzw. sagen, ob das so stimmt? (Die Behauptung "eine Gruppe der Ordnung p^2 ist abelsch" werde ich separat beweisen)
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Kleinsche Vierergruppe (Ordnung 4) hat 5 Untergruppen. 5=2+3>2+2=4
telli Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort!

Hmm ja.. du hast recht. Hast du denn ein Vorschlag wie der Ansatz sonst aussehen könnte?
telli Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich habe den Fehler entdeckt:

Nach Lagrange muss ja die Untergruppenordnung die Gruppenordnung teilen. Es können also nur Untergruppen von der Ordnung 1, p und p^2 existieren. Es existieren genau je eine Untergruppe der Ordnung 1 ({id}) und der Ordnung p^2 (die Gruppe G selbst).

Nun nehme ich an, dass maximal p+1 Untergruppen der Ordnung p existieren können und überprüfe, ob die Gesamtanzahl der Elemente in den Untergruppen der Ordnungen p kleiner oder gleich der Anzahl der Elemente in der Gruppe G ist.

Da ord(G) = p^2 folgt, dass G abelsch ist und eine Untergruppe der Ordnung p ist zwingend zyklisch.
Zwei zyklische Untergruppen der Ordnung p sind aber entweder gleich oder bis auf das neutrale Element verschieden. Nun nehme ich an, dass alle Untergruppen der Ordnung p verschieden sind.

Dann folgt, dass Total (p+1)*(p-1) + 1 Elemente in der Vereinigungsmenge aller Untergruppen der Ordnung p existieren. Also:
(p+1)*(p-1) + 1 = p^2 - 1 + 1 = p^2
dies ist Gerade die Anzahl der Elemente in G! Es gibt also kein Widerspruch.

Daraus folgt dann, dass maximal (p+1) + 2 = p + 3 Untergruppen in G existieren können.



Okay stimmt das so? Irgendwelche Ergänzungen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip richtig aber sprachlich merkwürdig. Eine Annahme macht man nur, wenn man einen Widerspruch herbeiführen möchte. Dies ist aber ein direkter Beweis, der alle guten Zutaten enthält.

, also gibt es bis auf die beiden trivialen Untergruppen und noch zyklische Untergruppen der Ordnung . Je zwei von diesen haben trivialen Durchschnitt, also verteilen sich die Gruppenelemente wegen auf maximal Untergruppen der Ordnung .

Was du sonst noch geschrieben hast, komplettiert diesen Beweis.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »