Konvergenz zeigen

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20.01.2018, 20:36	KonvergenzSt	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz zeigen Meine Frage: Hallo, folgende Aufgabe [attach]46342[/attach] Meine Ideen: Ich hab so angefangen $\begin{eqnarray} \lim_{N\rightarrow \infty } \prod_{k=1}^{N} X_k = e^{E[ln(X_1)]} \\<br /> X_1 X_2..X_n= e^{NE[ln(X_1)]} \end{eqnarray}$ d.h irgendwie reicht es zu zeigen,dass $\begin{eqnarray} X_1= e^{E[ln(X_1)]} \\<br /> ln(X_1)=E[ln(X_1)] \end{eqnarray*}$ und weiter weiß ich nicht weiter..Eigentlich wollte ich mit der Definition vom Erwartungswert arbeiten,aber ich kenn die Verteilung ja nicht deshalb geht es nicht oder ? Oder hätte ich es einfach nach unten abschätzen sollen ? Hoffe jemand kann mir helfen. LG
21.01.2018, 09:36	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz zeigen Das ist eine Folgerung vom starken Gesetz der großen Zahl. Zeige, dass $\begin{eqnarray} \log \left[\left ( \prod_{k=1}^N X_k\right)^{\frac 1 N }\right] \to E[ \log(X_1)] \end{eqnarray}$ gilt.
21.01.2018, 09:44	SHigh	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz zeigen Stichwort starkes Gesetz der größen Zahlen. $\begin{eqnarray} \lim_{N\to \infty}\left(\prod_{k=1}^NX_k\right)^{\frac 1N} = \lim_{N\to \infty}\exp \left[\log \left(\left(\prod_{k=1}^NX_k\right)^{\frac 1N}\right)\right] \end{eqnarray}$ . Rechenregeln des Logarithmus und Starkes Gesetzt der großen Zahlen anwenden, fertig. Grüße
21.01.2018, 10:50	KonvergenzSt	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz zeigen Hm,aber das starke Gesetz der großen Zahlen beschreibt das ja im Zusammenhang mit der Summe über die ZV und ihrem EW Ich glaub es ist echt einfach aber ich steh immernoch auf dem Schlauch Ich muss also zeigen,dass $\begin{eqnarray} ln((\prod_{k=1}^{N}X_k) ^{\frac{1}{N}} )\rightarrow E[ln(X_1)] \end{eqnarray}$ Allg. gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{N\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{N}(X_k-E[X_k])=0 \end{eqnarray}$ Meine ZV in diesem Fall ist also ln(X_1) dann muss ich ja zeigen dass $\begin{eqnarray} ln((\prod_{k=1}^{N}X_k) ^{\frac{1}{N}} ) \end{eqnarray}$ gerade ln(X_1) entspricht oder bin ich komplett falsch
21.01.2018, 10:52	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz zeigen Verwende das Logarithmusgesetz $\begin{eqnarray} \log (ab ) = \log (a) + \log(b) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} a,b > 0 \end{eqnarray}$ . So wird aus dem Produkt eine Summe. Ferner aus $\begin{eqnarray} \log (a^b) = b \log a \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} a > 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b\in\mathbb R \end{eqnarray}$ folgt der Mittelwert.
21.01.2018, 10:55	KonvergenzSt	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz zeigen Ah Moment,ich hab jetzt $\begin{eqnarray} ln((\prod_{k=1}^{N}X_k)^{\frac{1}{N}}) = \frac{1}{N}ln(\prod_{k=1}^{N}X_k) \end{eqnarray}$ das liefert dann die Behauptung oder ? Gilt das auch über Produkte ?
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21.01.2018, 10:59	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz zeigen Nunja. Es ist $\begin{eqnarray} \ln \left ( \prod_{k=1}^N X_k \right) = \ln \left (X_N \cdot \prod_{k=1}^{N-1} X_k \right) \end{eqnarray}$ nach Definition des Produktes. ALso $\begin{eqnarray} \ln \left (X_N \prod_{k=1}^{N-1} X_k \right) = \ln(X_N) + \ln \left ( \prod_{k=1}^{N-1} X_k \right) \end{eqnarray}$ . Macht man das $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ Mal, so hat man aus dem Produkt eine Summe gemacht.
21.01.2018, 11:00	KonvergenzSt	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz zeigen Achsoo !! Stimmmt Dankeee Dann gilt $\begin{eqnarray} \frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}ln(X_k) \end{eqnarray}$ und damit folgt die Behauptung ! Geht das aber wg der identischen Verteilung, dass es dann gegen "nur" gg E[ln( X_1)] konv?
21.01.2018, 11:02	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz zeigen Die Funktion $\begin{eqnarray} \ln \colon (0,\infty) \to \mathbb R \end{eqnarray}$ ist stetig. Insbesondere messbar bzgl. der Borel-Sigma-Algebra. Damit folgt aus $\begin{eqnarray} (X_i) \end{eqnarray}$ iid, dass $\begin{eqnarray} (\log (X_i)) \end{eqnarray}$ iid sind.
21.01.2018, 11:05	KonvergenzSt	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz zeigen Danke vielmals!

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