Kovarianz

21.01.2018, 11:09

Statistics

Kovarianz

Meine Frage:
Hallo,
folgende Aufgabe
[attach]46349[/attach]

Meine Ideen:
Nunja es gilt doch für alle n dass E[Y_n]=0 ist oder nicht ?
Ist dann nicht auch für alle k,r Cov(X_k,X_r) = 0 ??

21.01.2018, 11:42

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kovarianz

Zitat:

Original von Statistics
Nunja es gilt doch für alle n dass E[Y_n]=0 ist oder nicht ?

Richtig.

Zitat:

Original von Statistics
Ist dann nicht auch für alle k,r Cov(X_k,X_r) = 0 ??

Falsch. Wenn du es sauber aufschreibst und rechnest, siehst du, das $\begin{eqnarray*} \operatorname{Cov}(X_k,X_r) = \min(k, r) \end{eqnarray*}$ ist. (Wenn ich mich nicht selbst gerade vertan habe.)

21.01.2018, 12:11

Statistics

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kovarianz
Hm,aber wenn wir X_1*X_2 betrachten :

Dies kann die Werte 2 und -2 mit einer Wkeit von 1/4 annehmen und die 0 mit 2/4
dann ist der E[XY] ja auch wieder null ? verwirrt

21.01.2018, 12:16

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kovarianz
Wenn wir $\begin{eqnarray*} X_1 X_2 \end{eqnarray*}$ mal ausrechnen, steht dort
$\begin{eqnarray*} X_1 X_2 = Y_1 ( Y_1 + Y_2) = Y_1^2 + Y_1 Y_2 \end{eqnarray*}$ .
Nimmt man den Erwartungswert, so bekommt man also
$\begin{eqnarray*} E[ X_1 X_2] =E[ Y_1^2] +E[ Y_1 Y_2] = E[Y_1^2] + E[Y_1]E[Y_2] \end{eqnarray*}$ ,
wobei wir im letzten Schritt die Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} Y_1, Y_2 \end{eqnarray*}$ benutzt haben. Da der Erwartungswert von $\begin{eqnarray*} Y_k \end{eqnarray*}$ Null ist, haben wir
$\begin{eqnarray*} E[X_1 X_2] = E[Y_1^2] \end{eqnarray*}$ . Und da $\begin{eqnarray*} Y_1 \neq 0 \end{eqnarray*}$ , ist die rechte Seite strikt größer als 0.

21.01.2018, 12:27

Statistics

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kovarianz
Ahhh danke macht Sinn !!

Wenn ich da jetzt weiter mit E[(Y_1)^2] machen will , ist das ja 1*1/2 + 1* 1/2 = 1 ,also trifft deine obige Aussage zu.

Und wenn ich das jetzt verallgemeinern will:

Cov(X_k,X_r)=..=E[(Y_k)^2] wie kann ich hier jetzt weiter zeigen,dass das gleich k ist ?

21.01.2018, 12:30

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kovarianz
Offenbar ist $\begin{eqnarray*} E[ Y_k^2] = 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , wie du ja eben ausgerechnet hast. D.h. du hast bei $\begin{eqnarray*} = \ldots = \end{eqnarray*}$ einige Terme verloren.

21.01.2018, 12:35

Statistics

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kovarianz
Ach, sprich für alle k,r (k ungleich r ) gilt dann Cov(X_k, X_r) = 1 ? verwirrt

21.01.2018, 12:37

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kovarianz
Wenn deine Rechnung stimmen würde ja. Aber ich behaupte $\begin{eqnarray*} \operatorname { Cov}(X_r, X_k) = \sum_{l =1}^{\min(r,k)} E [ Y_l^2] \end{eqnarray*}$ ist richtig.

21.01.2018, 12:45

Statistics

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kovarianz
Huch jetzt weiß ich was du meinst..ich hab das da oben einfach so übernommen Hammer

E[X_k,X_r]) = E[ (Y1+..Yk)*(Y1+..Yr) ] wir wissen dass alle E's mit E[Yi*Yr] wegfallen , also interessiert uns nur deine Behauptung da oben mit der Summe bis zum min(r,k).
Kann ich das so stehen lassen ?

21.01.2018, 12:49

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kovarianz
Das ganze algebraisch aufschreiben, geht sehr flott:
Es ist
$\begin{eqnarray*} E [ X_r X_k ] = E\left[ \left ( \sum_{m=1}^r Y_m \right) \left ( \sum_{n = 1}^k Y_n \right)\right]=\sum_{m=1}^r \sum_{n=1}^k E[ Y_m Y_n] \end{eqnarray*}$ .
Jetzt kann man benutzen, dass $\begin{eqnarray*} E[Y_m Y_n] = \delta_{mn} \end{eqnarray*}$ ist. ( $\begin{eqnarray*} \delta_{nm} \end{eqnarray*}$ ist das Kronecker-Delta). Und schon stehts da.

21.01.2018, 13:00

Statistics

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kovarianz
Danke !!!

Neue Frage »

Antworten »

Kovarianz

Verwandte Themen