0 hat eine Nullstelle.

21.01.2018, 14:15

davidrr

Beweis konvexe Funktion f:[a,b]-> R mit f(a)< 0 und f(b)>0 hat eine Nullstelle.

Meine Frage:
Seien $\begin{eqnarray*} a < b \end{eqnarray*}$ zwei reelle Zahlen und sei $\begin{eqnarray*} f:\[a,b\]\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine differenzierbare, konvexe Funktion mit $\begin{eqnarray*} f(a)< 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} <br /> f(b)>0 \end{eqnarray*}$ . Zeige dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine eindeutig bestimmte Nullstelle hat.

Meine Ideen:
Nach dem Zwischenwertsatz werden alle Werte in $\begin{eqnarray*} [f(a),f(b)] \end{eqnarray*}$ angenommen. Somit gibt es mindestens $\begin{eqnarray*} \exists \xi : f(\xi) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Es bleibt aber noch zu zeigen, dass die Nullstelle einzigartig ist.

Dabei wissen wir aus der VL, dass eine funktion konvex ist, falls für $\begin{eqnarray*} x_1 < x < x_2: \frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1} \leq \frac{f(x_2)-f(x)}{x_2-x} \end{eqnarray*}$ .

Mein Ansatz..behaupte es gibt zwei Nullstellen $\begin{eqnarray*} \xi_1, \xi_2 \end{eqnarray*}$ und zeige, dass die beiden die gleichen sind.

Da in der Aufgabe steht, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist somit muss ich wahrscheinlich irgendwie mit f ableiten. Nur weiss ich leider nicht wirklich wie ich dabei vorgehen sollte.

21.01.2018, 14:31

HAL 9000

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Auf die Voraussetzung "differenzierbar" kann verzichtet werden, "stetig genügt" vollkommen:

Wie du richtig ausgeführt hast, existiert eine Nullstelle $\begin{align*} \xi\in (a,b) \end{align*}$ .

Nimm einfach an, es gibt eine zweite Nullstelle $\begin{align*} \eta\in (a,b) \end{align*}$ mit $\begin{align*} \eta\neq \xi \end{align*}$ , o.B.d.A. mit $\begin{align*} \eta>\xi \end{align*}$ (ansonsten Vertauschung).

Dann widersprechen die drei Punkte $\begin{align*} (a,f(a)), (\xi,0), (\eta,0) \end{align*}$ auf dem Funktionsgraphen der vorausgesetzten Konvexität. Augenzwinkern