Beweis, dass Energiefunktion konstant ist

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davidrr Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis, dass Energiefunktion konstant ist
Meine Frage:
Sei ein glatt berandeter Bereich und sei eine offene Obermenge von . Betrachte die zweimal stetig differenzierbare Funktion womit also eine Funktion in drei "Ortsvariablen" und einer "Zeitvariablen" ist. Weiter schreiben wir .

Angenommen genügt der Wellengleichung:

1. für alle

2. für alle

Zeige, dass die Energiefunktion gegeben durch



für konstant ist. Nehme dabei entweder an, dass ein Quader ist, oder verwende ohne Beweis die Verallgemeinerung des Satzes über Parameterintegrale für $B$


Meine Ideen:
Wenn konstant ist dann gilt

Mit den Satz über Parameterintegrale folgt



Jedoch habe ich absolut keine Ahnung wie es nun weiter geht und bin schon ziemlich verzweifelt. Ich glaube, dass man irgendwie entweder Stockes Satz oder den Satz von Gauss anwenden muss um hier zum Ziel zu kommen.

Ganz herzliche Dank für Eure Hilfe, ich bin ziemlich verloren.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

1.) die Wellengleichung ('wave equation') wäre

.

(Das, was du hingeschrieben hast, nennt man Wärmeleitungsgleichung bzw. 'heat equation').

2.) Bist du sicher, dass in der Energiefunktion die Quadrate außen an die Ableitungen drankommen (als Potenzen), und nicht innen an die Ableitungsoperatoren (als mehrfache Ableitungen)? Denn gerade dieses Delta_p hat ja mit den zweiten Ableitungen zu tun.

3.) Wenn die beiden Punkte geklärt sind, dann einfach "drauflosableiten" und schauen, ob du von den gültigen Gleichungen (1) und (2) irgendwas einsetzen kannst.

LG
sibelius84
davidrr Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo sibelius84


Ganz herzlichen Dank für Deine Antwort. Du hast natürlich recht... es wäre :

1. gewesen. Sorry. geschockt

Hier hast Du zudem einen Scan der Aufgabe: pasteboard.co/H3ZSAet.jpg

Hier ist zudem ein Link einer ähnlichen Aufgabe, jedoch vertehe ich nicht ganz wie die das machen.

Also.. deinem Tipp nach, einfach mal drauflosableiten (mit der Kettenregel):




mit geht das analog: Somit:



Jetzt könnten wir einsetzen, (oder dürfen wir das nicht?). Dies macht das integral aber nur noch komplizierter.

Eine andere Idee wäre irendwie den Satz von Gass oder Stockes zu verwenden da für


Herzlichen Dank für Deine Hilfe.

LG
davidrr
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hui, die Aufgabe wehrt sich aber ganz schön Augenzwinkern Allmählich bin ich da auch mit meinem Latein am Ende. Eine Sache habe ich noch herausgefunden: Wenn man "einfach drauflosableitet" und dann den Ausdruck durch den Laplace-Operator ersetzt, dann kann man den Integranden folgendermaßen schreiben:

.

Hilft das irgendwie weiter?

edit (ca 0:06): Der Integrand ist doch dann gerade die Divergenz des Vektorfelds

.

Könnte da nicht dann tatsächlich der Satz von Gauß ins Spiel kommen?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

@davidrr
@sibelius84
Ihr macht die Sache kompliziert, obwohl es ziemlich einfach ist:
--------------------------------------------------------------------------------
Multiplikation der Wellengleichung mit der Zeitableitung und Integration über das Volumen liefert



Den zweiten Summanden formen wir um



Darin kann man den Summanden weglassen, denn das Volumenintegral über lässt sich mit dem Gaußschen Satz in ein Oberflächenintegral über den Term umwandeln, welches verschwindet. Dies folgt aus der Randbedingung F=0 (und folglich ). Es bleibt also

davidrr Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo @Ehos

Herzlichen Dank für Deinen Lösungsvorschlag, der macht das Ganze schon viel einfacher. Jedoch habe ich noch zwei Fragen:

Wenn ich mit der Zeitableitung multipliziere, dann gibt das mir doch und nicht . Oder verstehe ich hier etwas falsch?

Und was machst du hier genau? Integrierst du hier über die Zeit und ziehst es dann als vor das Integral.

 
 
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

@Davidrr

Frage 1:
Du hast recht. Ich habe bei der Wellengleichung einen Punkt vergessen. Dort muss es heißen anstelle von . Ich habe dies in meinem ersten Beitrag verbessert.

Frage 2:
Im letzten Schritt habe ich den Integranden einfach mittels Kettenregel als Zeitableitung geschrieben und danach die Zeitableitung vor das Integral gezogen, also

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