Volumenintegral. Grenzen bestimmen

22.01.2018, 14:40

davidrr

Volumenintegral. Grenzen bestimmen

Meine Frage:
Berechne das zwischen der Sphäre $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2+y^2 = 8 \end{eqnarray*}$ und dem Paraboloid $\begin{eqnarray*} 4z = x^2 + y^2 + 4 \end{eqnarray*}$ eingeschlossene Volumen.

Meine Ideen:
Ich will versuchen das Gebiet anders zu schreiben um es dann als Integral zu berechnen. Das Integral zu berechnen ist kein Problem jedoch weiss ich nicht wie ich die beiden obigen Gleichungen in einen Normalenbereich umschreibe.

Ich wäre froh wenn mir dabei jemand helfen könnte und auch erklären könnte wie man in solchen Fällen das Gebiet parametrisiert.

22.01.2018, 14:56

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

D.h., du meinst den Körper

$\begin{align*} K = \left\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \bigm| x^2+y^2+z^2~{\color{red}\leq}~8\,\wedge\, 4z~{\color{red}\geq}~x^2+y^2+4 \right\} \end{align*}$

In Zylinderkoordinaten lauten die Bedingung dann $\begin{align*} r^2+z^2\leq 8 \end{align*}$ und $\begin{align*} 4z\geq r^2+4 \end{align*}$ .

22.01.2018, 15:12

davidrr

Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit den Zylinderkordinaten scheint schlau, somit kann man $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ los werden.

$\begin{eqnarray*} r^2+z^2\leq 8 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 4z\geq r^2+4 \end{eqnarray*}$

Wie geht man ab hier weiter?

Kann ich dann $\begin{eqnarray*} r^2+z^2\leq 8 \implies r^2\leq 8 -z^2 \implies -\sqrt{8 -z^2}\leq r \leq \sqrt{8 -z^2} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} 4z\geq r^2+4 \implies 4z-4 \geq r^2 \implies -\sqrt{4z-4} \leq r \leq\sqrt{4z-4} \end{eqnarray*}$

22.01.2018, 15:22

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ungleichungen müssen BEIDE zugleich erfüllt sein. Das weitere Vorgehen hängt jetzt davon ab, was du bzgl. $\begin{align*} r \end{align*}$ und $\begin{align*} z \end{align*}$ als innere und was als äußere Integrationvariable bei der Volumenbestimmung wählen willst...

22.01.2018, 15:32

davidrr

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Die Ungleichungen müssen BEIDE zugleich erfüllt sein

Ja das ist mir bewusst, jedoch "stehe ich auf der Leitung" wie genau ich das machen muss.

22.01.2018, 15:48

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht erstmal meine Frage

Zitat:

Original von HAL 9000
Das weitere Vorgehen hängt jetzt davon ab, was du bzgl. $\begin{align*} r \end{align*}$ und $\begin{align*} z \end{align*}$ als innere und was als äußere Integrationvariable bei der Volumenbestimmung wählen willst...

beantworten?

22.01.2018, 16:01

davidrr

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde mit $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ anfangen da es einfacher aussieht, jedoch würde mich auch interessieren wie es über $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ gehen würde, da ich nicht weiss wie solche Aufgaben zu lösen sind.

22.01.2018, 16:04

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

bitte klarer antworten
"anfangen"??? Du meinst $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ als innere Integration? verwirrt

22.01.2018, 16:07

davidrr

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: bitte klarer antworten

Zitat:

"anfangen"??? Du meinst r als innere Integration?

ja genau

23.01.2018, 09:29

Ehos

Auf diesen Beitrag antworten »

Weil es sich bei beiden Körpern um Rotationskörper handelt, kann man die Aufgabe auf Schulmathematik zurückführen. Mache einen Schnitt durch beide Körper entlang der x-z-Ebene und zeichne die beiden Schnittflächen in ein ebenes x-z-Koordinatensystem (wo also gilt y=0). Offenbar werden die Schnittflächen durch folgende zwei Kurven begrenzt:

$\begin{eqnarray*} \text{Kreis mit Radius r=}\sqrt{8}: x^2+z^2=(\sqrt{8})^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Parabel mit Scheitel (0,1): }z=\tfrac{1}{4}x^2+1 \end{eqnarray*}$

Die Schnittpunkte beider Kurven liegen offenbar bei $\begin{eqnarray*} (x_1;z_1)=(-2;2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x_2;z_2)=(2;2) \end{eqnarray*}$ . Der Körper, dessen Volumen gesucht ist, setzt sich also aus einem Paraboloid und einem Kugelsegment (sog. Kugel-Kalotte) zusammen. Nun kann man die Volumina beider Rotationskörper leicht mit Schulmathematik bestimmen und addieren.

Neue Frage »

Antworten »

Volumenintegral. Grenzen bestimmen

Verwandte Themen