Gruppe bzw abelsche Gruppe

22.01.2018, 17:37

Nutellafreak

Gruppe bzw abelsche Gruppe

Meine Frage:
Die Aufgabe lautet:

Zeigen Sie, dass die reellen Zahlen bzgl. der Verknüpfung $\begin{eqnarray*} a \circ b =(a^n+b^n)^{\frac{1}{n}}) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe bilden.Ist diese Gruppe abelsch? $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}, n~ ungerade \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also den Ausdruck $\begin{eqnarray*} a \circ b =(a^n+b^n)^{\frac{1}{n}}) \end{eqnarray*}$ kann man ja auch so schreiben $\begin{eqnarray*} a \circ b = \sqrt[n]{(a^n+b^n)} \end{eqnarray*}$ .

Für die Gruppe muss ich überprüfen ob die Verknüpung zwischen Elementen assoziativ ist, ob es ein neutrales Element gibt und ob es ein inverses Element gibt. Als abelsche Gruppe bezeichnet man eine Gruppe die kommutativ ist, also muss ich zuletzt überprüfen ob sie kommutativ ist.

Für das neutrale Element bin ich mir nicht sicher da ja gelten muss:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{(a^n+e^n)} = a \end{eqnarray*}$

als Bsp n= 3 und a=3,e=0

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{(3^3+0^3)} =\sqrt[3]{(27+0)}=\sqrt[3]{27}=3 \end{eqnarray*}$

müsste so aber stimmen das e=0 das neutrale Element ist
$\begin{eqnarray*} e=Neutrales\ Element \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Da der Exponent ungerade ist z.B. n=3 kann für $\begin{eqnarray*} a=3 , a^{\prime}=-3 \end{eqnarray*}$ mit der Formel $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{(3^3-3^3)}=\sqrt[3]{0}=0 \end{eqnarray*}$

Bei der Assoziativität habe ich kein durchblick da ja angegeben ist

$\begin{eqnarray*} a \circ b = \sqrt[n]{(a^n+b^n)} \end{eqnarray*}$

und mein gedanke war das das so aussieht:

$\begin{eqnarray*} (a \circ b)\circ c = (\sqrt[n]{(a^n+b^n)})+\sqrt[n](c^n) \end{eqnarray*}$

Bei der kommutativität also :

$\begin{eqnarray*} a \circ b = b \circ a \end{eqnarray*}$

linke Seite: $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{(a^n+b^n)} \end{eqnarray*}$
rechte Seite: $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{(b^n+a^n)} \end{eqnarray*}$

da unter der Addition die Reellen Zahlen keine abelsche Gruppe bilden ist ein unterschied ob ich a+b oder b+a rechne da b bzw a negativ sein können und somit unterschiedliche Zahlen rauskommen

22.01.2018, 18:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von Nutellafreak
da unter der Addition die Reellen Zahlen keine abelsche Gruppe bilden

Dann hab ich das jahrzehntelang verkehrt gemacht. Big Laugh

22.01.2018, 20:27

forbin

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RE: Gruppe bzw abelsche Gruppe
Hallo Nutellafreak,

bis hierher ok:

Zitat:

Original von Nutellafreak
...
Bei der Assoziativität habe ich kein durchblick da ja angegeben ist

$\begin{eqnarray*} a \circ b = \sqrt[n]{(a^n+b^n)} \end{eqnarray*}$

und mein gedanke war das das so aussieht:

$\begin{eqnarray*} (a \circ b)\circ c = (\sqrt[n]{(a^n+b^n)})+\sqrt[n](c^n) \end{eqnarray*}$

Bilde mal $\begin{eqnarray*} a\circ b \end{eqnarray*}$ und nenne diesen Ausdruck zum Beispiel $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .
Dann bilde $\begin{eqnarray*} x\circ c \end{eqnarray*}$ .
Nun kannst du das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ja wieder durch den erst gebildeten Ausdruck ersetzen.

Passt es mit deiner Lösung überein?
Hier ein Hinweis: $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{c^{n}} \end{eqnarray*}$ ist ja nur $\begin{eqnarray*} |c| \end{eqnarray*}$ . Von daher kann deine Verknüpfung so nicht zustande kommen smile

Zitat:

Bei der kommutativität also :

$\begin{eqnarray*} a \circ b = b \circ a \end{eqnarray*}$

linke Seite: $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{(a^n+b^n)} \end{eqnarray*}$
rechte Seite: $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{(b^n+a^n)} \end{eqnarray*}$

da unter der Addition die Reellen Zahlen keine abelsche Gruppe bilden ist ein unterschied ob ich a+b oder b+a rechne da b bzw a negativ sein können und somit unterschiedliche Zahlen rauskommen

$\begin{eqnarray*} a + b = b + a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a + (-b) = (-b) + a \end{eqnarray*}$
Was fällt dir auf? smile

23.01.2018, 09:40

HAL 9000

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Man kann das ganze auch so betrachten:

Mit Bijektion $\begin{eqnarray*} T:\;\mathbb{R}\to \mathbb{R},\;x\mapsto x^n \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} T(a\circ b) = T(a)+T(b) \end{eqnarray*}$ , damit ist $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ein Isomorphismus von $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R},\circ) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R},+) \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R},+) \end{eqnarray*}$ eine Abelsche Gruppe ist, überträgt sich diese Eigenschaft auf $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R},\circ) \end{eqnarray*}$ . Aber wie Elvis hier schon festgestellt hat, entfällt dann ja der ganze Rechenspaß. Augenzwinkern

23.01.2018, 14:41

Nutellafreak

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@HAL 9000 ich war zuerst auch der Meinung es sei eine abelsche gruppe und habe mich umentscheiden wegen
a+b=b+a
a+(-b)=(-b)+a
hab aber vergessen das bei Zahlen das vorzeichen mitgenommen wird und nicht an der stelle bleibt Hammer

(ich sollte mich schämen)

nun zu forbin

danke schon mal für den tipp

$\begin{eqnarray*} a \circ b = \sqrt[n]{(a^n+b^n)} \Rightarrow ich~ setze \sqrt[n]{(a^n+b^n)}=x \end{eqnarray*}$

und bilde $\begin{eqnarray*} x \circ c = \sqrt[n]{(x^n+c^n)} \end{eqnarray*}$

dann setze ich x ein

$\begin{eqnarray*} (\sqrt[n]{(a^n+b^n)}) \circ c = \sqrt[n]{(\sqrt[n]{(a^n+b^n)})+c^n)} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow (a \circ b) \circ c = \sqrt[n]{(\sqrt[n]{(a^n+b^n)})+c^n)} \end{eqnarray*}$

sieht schon mal nicht aus wie meins unglücklich

bei der assoziativität muss es dann aber auch andersrum gehen also

$\begin{eqnarray*} a \circ (b \circ c)= \sqrt[n]{(a^n + (\sqrt[n]{(b^n+c^n)})} \end{eqnarray*}$

für a=b=c=3 und n=3 gilt $\begin{eqnarray*} (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c) \end{eqnarray*}$

für
a=3
b=5
c=7
n=9
jedoch nicht

nun sagt die Aufgabe es bildet eine Gruppe und das soll ich "zeigen"

23.01.2018, 15:23

forbin

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Zitat:

[i]

$\begin{eqnarray*} (\sqrt[n]{(a^n+b^n)}) \circ c = \sqrt[n]{(\sqrt[n]{(a^n+b^n)})+c^n)} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow (a \circ b) \circ c = \sqrt[n]{(\sqrt[n]{(a^n+b^n)})+c^n)} \end{eqnarray*}$

sieht schon mal nicht aus wie meins unglücklich

Kann es auch nicht, denn du hast die Verknüpfung nicht konsequent durchgezogen.
Siehst du den Fehler?
Was ist $\begin{eqnarray*} (\sqrt[n]{a^{n}+b^{n}})^{n} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

23.01.2018, 16:55

Nutellafreak

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Zitat:

Was ist $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{(a^n+b^n)^n} \end{eqnarray*}$

das sollte $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{(a^n+b^n)} \end{eqnarray*}$ heißen oder nicht?

wenn nicht hebt die wurzen den exponenten auf und es wäre $\begin{eqnarray*} a^n+b^n \end{eqnarray*}$
aber sonst sehe ich es nicht

23.01.2018, 17:18

Nutellafreak

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Kann meinen Beitrag nicht mehr editieren aber ich weiß was du meinst das müsste

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{(a^n+b^n)+c^n} \end{eqnarray*}$

und auf der anderen Seite müsste es dann

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n](a^n+(b^n+c^n)} \end{eqnarray*}$

oder nicht?

dann müsste es wegen der assoziativität in (R,+)
auch eine Gruppe sein

23.01.2018, 18:09

forbin

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Zitat:

Original von Nutellafreak
Kann meinen Beitrag nicht mehr editieren aber ich weiß was du meinst das müsste

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{(a^n+b^n)+c^n} \end{eqnarray*}$

und auf der anderen Seite müsste es dann

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a^n+(b^n+c^n)} \end{eqnarray*}$

oder nicht?

dann müsste es wegen der assoziativität in (R,+)
auch eine Gruppe sein

So sieht's aus smile

23.01.2018, 18:14

Nutellafreak

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vielen dank Gott

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