Wurzel Kurvendiskussion

22.01.2018, 22:36

Matheleute

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Wurzel Kurvendiskussion

Hey,

ich habe eine Wurzelfunktion und soll mit dieser eine Kurvendiskussion durchführen.
Wz(32-x²) <-- Das ist der Teil der Wurzel

nun habe ich im Internet geschaut wie man eine Wurzel vereinfachen kann und so wie ich das verstanden habe, könnte man um diese Wurzel zu vereinfachen einfach das Wurzelzeichen entfernen und somit wäre die vereinfachte form folgende:

32-x²

Stimmt dies oder müsste das so sein:

32-x

wäre gut wenn ihr mir nochmal kurz erklären könntet, welches ich nehmen muss und wieso.

Lg

23.01.2018, 02:21

mYthos

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Bei einer Kurvendiskussion wird von Vornherein die Funktion NICHT vereinfacht, denn sie sie ist so zu diskutieren, wie sie ist (as is!). Ansonsten würden sich die Definitionsmenge und der Graph verändern!
Aber bei den einzelnen Untersuchungen kann - allerdings NUR zur Vereinfachung der Rechnung bei den Gleichungen - vorübergehend vereinfacht werden:

$\begin{eqnarray*} c*f(x) \end{eqnarray*}$ hat die gleichen Nullstellen, an den gleichen Stellen Extrema, Wendepunkte wie $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ , c .. Konstante

$\begin{eqnarray*} f^2(x) \end{eqnarray*}$ hat an denselben Stellen Extrema wie $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ , dabei sind Funktionswerte, die Null sind, ausgeschlossen.

Beachte, dass auch Vorzeichen erhalten bleiben müssen (Bestimmung der ART des Extremums und der Krümmung).
Die Definitionsmenge der Wurzelfunktion ist R+, also ist auch deren Quadrat nur dort von Belang!

Konkret für deine Funktion:
Die Wurzel kann weggelassen, also nur der Radikand betrachtet werden, für
die Berechnung der Nullstellen (dabei quadriert man ja ohnehin) und Extremstellen
Man sieht, dass der x-Wert bei beiden Kurven gleich ist, der Funktionswert ist jedoch nur von der gegebenen Funktion (rote Kurve im 1. Quadranten) zu bestimmen.

mY+

23.01.2018, 07:38

Matheleute

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Hey,
danke für deine Antwort.
Hab die Definitionsmenge ja schon mit der unveränderten Funktion berechnet,
Für die Nullstellen habe ich jetzt einfach die Klammer weg gelassen.

Weil habe das so verstanden:

Wz(32-x^2)

ist das selbe wie:

(32-x^2)^2/2

Und da „^2/2“ eigentlich ja 1 ist, könnte man ja einfach die Wurzel
weglassen? Oder bin ich falsch?

23.01.2018, 07:41

Equester

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Da bist du falsch^^.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} = x^{\frac12} \neq x^{\frac22} \end{eqnarray*}$

23.01.2018, 07:47

Matheleute

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Genau.
Habe aber noch gelesen,
das wenn unter der Wurzel das x noch eine Hochzahl hat, kommt das in den zähler.
Bei deinem beispiel hat das x ja auch eine „unsichtbare“ 1, deswegen auch 1/2
Aber in Meiner Aufgabe steht 32-x^2,
deswegen dachte ich wird statt ^1/2
die 2 noch zu dem zähler gezählt und dann wäre es ja ^2/2 und somit ^1 oder nicht?

23.01.2018, 08:18

Equester

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Gut, der Punkt ist richtig. Allerdings bezieht sich die Aussage auf den Radikanden. Nicht auf ein x.

Es ist also $\begin{eqnarray*} \sqrt{(x-a)^b} = (x-a)^{\frac{b}{2}} \end{eqnarray*}$ oder noch allgmeiner $\begin{eqnarray*} \sqrt[m]{(x-a)^b} = (x-a)^{\frac{b}{m}} \end{eqnarray*}$

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23.01.2018, 08:24

Matheleute

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Danke für die Antwort.
Also kann ich das hier nehmen:

32-x^2

Oder doch hier das:

32-x

Muss ich dann die ^2 weg lassen?
Sorry für die vielen Fragen aber im internet stand es einmal so, dass man die Hochzahl
unter der Wurzel danach weg lassen müsste
Und bei einer anderen Anleitung sollte man die dann doch nochmal stehen lassen.

23.01.2018, 08:27

Equester

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Willkommen

on board.

Für die Nullstellenbestimmung, kannst du in der Tat einfach die Wurzel weglassen. Das hat aber nichts mit dem Quadrat unter der Wurzel zu tun. Sondern du quadrierst einfach beide Seiten:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{32-x^2} = 0 \quad |\text{quadrieren} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 32-x^2 \end{eqnarray*}$

Was du meinst wäre eine Termumformung von bspw $\begin{eqnarray*} \sqrt{(32-x)^2} = 32-x \end{eqnarray*}$ . Hier kann man in der Tat einfach die Wurzel und das Quadrat weglassen (eventuell unter Berücksichtigung iwelcher Einschränkungen). Wichtig ist, dass der gesamte Radikand quadriert wird.

23.01.2018, 08:34

Matheleute

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Danke!

Beispiel meine Funktion wäre:

f(x)= 2x^2 * Wz(32-x^2)

Damit ich sie Nullstellen berechnen kann hast du ja gesagt,
kann ich quadrieren um die Wurzel weg zu bekommen.
Aber dann müsste ich doch die 2x^2 auch nochmal quadrieren oder?
Weil bei meiner funktion hatte ich jetzt das vor der wurzel nicht verändert
kam aber auf das richtige Ergebnis.

Lg und danke für deine hilfe

23.01.2018, 08:40

Equester

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Gut, das mit dem Quadrieren funktioniert nur relativ unproblematisch, wenn wir nur eine Wurzel haben.
Hier aber kannst du den "Satz vom Nullprodukt" anwenden und jeden Faktor für sich anschauen. Also einmal 2x^2 = 0 anschauen und den Wurzelterm = 0 anschauen. Deswegen hat es da jetzt auch nichts ausgemacht den ersten Term nicht zu quadrieren, da du indirekt eh nur den Wurzelterm angeschaut hast.

23.01.2018, 14:13

Matheleute

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Danke habe es soweit verstanden.
Nun bin ich dran die Funktion abzuleiten.
Kannst du mal drüber schauen ob ich die richtig abgeleitet habe.

Funktion:
f(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}x^{2}*\sqrt{16-x^{2}} \end{eqnarray*}$

die
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}x^{2} \end{eqnarray*}$

habe ich dann zu
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ x abgeleitet

Die Wurzel habe ich umgeschrieben in:

$\begin{eqnarray*} (16-x^{2})^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

äußere Ableitung:

g(x) = $\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

g'(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

innere Ableitung:

h(x) = $\begin{eqnarray*} (16 - x^{2}) \end{eqnarray*}$
h'(x) = $\begin{eqnarray*} -2x^{} \end{eqnarray*}$

Kettenregel:

f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)

eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*(16-x^{2})^{-\frac{1}{2} } * (-2x^{} ) \end{eqnarray*}$

vereinfacht:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} x^{} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} -x^{} *(16-x^{2})^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

so dann komme ich zur folgenden Ableitung (komplett zusammengefasst):

f'(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} x^{2}(16-x^{2})^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

23.01.2018, 14:22

klarsoweit

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Zitat:

Original von Matheleute
vereinfacht:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} x^{} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} -x^{} *(16-x^{2})^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

Da hast du nicht vereinfacht (was auch?), sondern einen Bock geschossen: schon mal was von "Produktregel" gehört?

23.01.2018, 14:36

Matheleute

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Ja hast recht,

stimmt den soweit die erste Ableitung?

23.01.2018, 14:38

klarsoweit

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Wenn du mit 1. Ableitung dieses meinst:

Zitat:

Original von Matheleute
f'(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} x^{2}(16-x^{2})^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

hatte ich dir schon den dezenten Hinweis auf die Produktregel gegeben.

23.01.2018, 15:04

Matheleute

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Zitat:

Original von klarsoweit
Wenn du mit 1. Ableitung dieses meinst:

Zitat:

Original von Matheleute
f'(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} x^{2}(16-x^{2})^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

hatte ich dir schon den dezenten Hinweis auf die Produktregel gegeben.

bin mit der Produktregel auf folgendes ergebnis gekommen:

f'(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x^{} (16-x^{2})^{\frac{1}{2} } + \frac{1}{4}x^{2}(8-\frac{1}{2}x^{2})^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

Hatte es mit der Kettenregel gemacht, weil mein Lehrer es mir vorgeschlagen hatte.

Lg

23.01.2018, 15:11

HAL 9000

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Der erste Summand links stimmt jetzt, der rechte ist immer noch falsch. Ruhig und geduldig, nach Produktregel kommt zunächst raus

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{1}{2}x \left( 16-x^2 \right)^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{4}x^2\cdot \left[ \left( 16-x^2 \right)^{\frac{1}{2}} \right]' \end{eqnarray*}$ .

Jetzt die Kettenregel auf den Term []' richtig anwenden.

23.01.2018, 15:41

Matheleute

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Zitat:

Original von HAL 9000
Der erste Summand links stimmt jetzt, der rechte ist immer noch falsch. Ruhig und geduldig, nach Produktregel kommt zunächst raus

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{1}{2}x \left( 16-x^2 \right)^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{4}x^2\cdot \left[ \left( 16-x^2 \right)^{\frac{1}{2}} \right]' \end{eqnarray*}$ .

Jetzt die Kettenregel auf den Term []' richtig anwenden.

Stimmt diese erste Ableitung:

f'(x) = $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}x^{2} (16-x^{2})^{\frac{1}{2} } + \frac{1}{4}x^{2} \end{eqnarray*}$

danke für deine hilfe

23.01.2018, 15:49

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, was wir noch machen sollen. geschockt

geschockt

HAL 9000 hat doch im letzten Beitrag gesagt, was zu tun ist: du mußt nur noch die Funktion in der eckigen Klammer ableiten. Das hast du ja auch schon weiter oben gemacht. Also ersetze die eckige Klammer mit der Ableitung von $\begin{eqnarray*} (16-x^2)^{1/2} \end{eqnarray*}$ und alles ist gut.

23.01.2018, 16:06

Matheleute

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit
Ich weiß nicht, was wir noch machen sollen. geschockt

geschockt

HAL 9000 hat doch im letzten Beitrag gesagt, was zu tun ist: du mußt nur noch die Funktion in der eckigen Klammer ableiten. Das hast du ja auch schon weiter oben gemacht. Also ersetze die eckige Klammer mit der Ableitung von $\begin{eqnarray*} (16-x^2)^{1/2} \end{eqnarray*}$ und alles ist gut.

Hey,

sorry wenn ich zu viele Fragen stelle,
aber ich möchte es verstehen und nicht einfach die Lösung haben.
Habe wie HAL9000 es gesagt hat, die Kettenregel angewendet, und das müsste jetzt eigentlich richtig sein.
Deswegen Frage ich lieber 1 mal mehr nach.

Lg

23.01.2018, 16:31

Steffen Bühler

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Was ist denn die Ableitung von $\begin{eqnarray*} (16-x^2)^{\frac 12} \end{eqnarray*}$ ?

Multipliziere das mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}x^2 \end{eqnarray*}$ und addiere dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x \left( 16-x^2 \right)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ .

Was steht dann da?

Zum Prüfen eignet sich auch unser Ableitungsrechner.

Viele Grüße
Steffen

23.01.2018, 16:55

Matheleute

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Hey,
danke für eure Antworten.
Bin denke jetzt entgültig zur richtigen Lösung gekommen.
Wäre gut wenn jemand das nochmal kontrollieren könnte.

f'(x) = $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4}x^{3}(16-x^{2})^{-\frac{1}{2} }+ \frac{1}{2}x^{}(16-x^{2})^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

23.01.2018, 17:01

Steffen Bühler

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Anscheinend hast Du unseren Ableitungsrechner nicht gefunden, denn der hätte das bestätigt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x} \left({{x^2\,\sqrt{16-x^2}}\over{4}}\right) ={{x\,\sqrt{16-x^2}}\over{2}}-{{x^3}\over{4\,\sqrt{16-x^2}}} \end{eqnarray*}$

23.01.2018, 17:04

HAL 9000

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Mit ein wenig Sinn für mathematische Ästhetik bringt man sowas natürlich noch auf einen gemeinsamen Bruchstrich: $\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{x(32-3x^2)}{4\sqrt{16-x^2}} \end{eqnarray*}$ . smile

smile

24.01.2018, 08:41

klarsoweit

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Ende gut, alles gut. smile

smile

Man kann auch $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac 1 4 x^2 \cdot \sqrt{16-x^2} \end{eqnarray*}$ umformen in $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac 1 4 \cdot \sqrt{16x^4 - x^6} \end{eqnarray*}$ .
Dann hätte man die anscheinend so schwierige Produktregel gespart. Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.01.2018, 15:47

Matheleute

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Zitat:

Original von Matheleute

f'(x) = $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4}x^{3}(16-x^{2})^{-\frac{1}{2} }+ \frac{1}{2}x^{}(16-x^{2})^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

Hey leute,
Habe nun wieder ein Problem.
Möchte nun die Extrempunkte dieser Funktion bestimmen.
Die bed:
f‘(x) = 0

Doch leider habe ich nach langen überlegungen immer noch keinen weg gefunden, mit welchem Verfahren ich die Nullstellen bestimmen kann. Könnt ihr mir vielleicht sagen welches Verfahren sich dafür eignen würde, damit ich versuchen kann selber auf das ergebnis zu kommen.

Lg

24.01.2018, 15:55

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Lies Dir mal HALs letzten Beitrag durch.

24.01.2018, 16:02

Matheleute

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Lies Dir mal HALs letzten Beitrag durch.

Hey,
hab die Beiträge gelesen, doch ich weiss nicht wie genau man die Funktion zu so
einer Schreibweise bringt. Also ich wüsste nicht wo ich was vereinfachen könnte.

Lg

24.01.2018, 16:18

Steffen Bühler

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Auf einen Nenner bringen:

$\begin{eqnarray*} \frac { x \sqrt {16-x^2}}2 - \frac {x^3}{4 \sqrt {16-x^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac { x \sqrt {16-x^2} \cdot 2 \sqrt {16-x^2}}{2 \cdot 2 \sqrt {16-x^2}} - \frac {x^3}{4 \sqrt {16-x^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac { 2x (16-x^2) - x^3}{4 \sqrt {16-x^2}} \end{eqnarray*}$

und so weiter.

24.01.2018, 16:37

HAL 9000

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Mit klarsoweits Vorschlag $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac 1 4 \cdot \sqrt{16x^4 - x^6} \end{eqnarray*}$ kommt man übrigens noch schneller zu dieser gerafften Darstellung der Ableitung

24.01.2018, 16:50

Matheleute

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Edit (mY+): Vollzitat entfernt. Es gibt auch einen Antwort-Button!

Hey,
danke für deine Hilfe.
Unzwar komme ich mit diesee Anleitung leider nicht weiter.

Ich habe ja oben die Ableitung gebildet ohne einen Bruch bzw einer Wurzel.
Wärst du so nett und würdest mir anhand dieser Funktion weiter helfen um die Extrempunkte zu bestimmen.

Lg

24.01.2018, 16:59

Steffen Bühler

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Du hast natürlich Brüche und Wurzeln in Deiner Ableitung, denn $\begin{eqnarray*} x^{- \frac 12} = \frac 1 { \sqrt x} \end{eqnarray*}$

PS: Aber wenn Du Potenzen so gern hast, geht's auch ohne:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4}x^{3}(16-x^{2})^{-\frac{1}{2} }+ \frac{1}{2}x^{}(16-x^{2})^{\frac{1}{2} } = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \frac{1}{2}x^{}(16-x^{2})^{\frac{1}{2} } =\frac{1}{4}x^{3}(16-x^{2})^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \left( \frac{1}{2}x^{}(16-x^{2})^{\frac{1}{2} } \right)^2=\left( \frac{1}{4}x^{3}(16-x^{2})^{-\frac{1}{2} }\right)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \dots \end{eqnarray*}$

24.01.2018, 17:16

HAL 9000

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Och nein, bitte nicht immer gleich quadrieren... Besser doch hier

Zitat:

Original von Steffen Bühler
$\begin{eqnarray*} \to \frac{1}{2}x^{}(16-x^{2})^{\frac{1}{2}} =\frac{1}{4}x^{3}(16-x^{2})^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

die Gleichung mit $\begin{eqnarray*} (16-x^{2})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ multiplizieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.01.2018, 18:15

Matheleute

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke euch vielmals.

Habs geschafft!
Cooles Forum und nette Community

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