Definition Determinante

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Definition Determinante
Grüße,

Ich habe eine Frage bezüglich der Definition der Determinante. Laut Internet (wikipedia.org, Stand: 23.01.18) wird eine Abbildung vom Raum quadratischer Matrizen auf einen Körper K als Determinante bezeichnet wenn sie

1) linear in jeder Spalte ist
2) alternierend ist (d.h. wenn in zwei Spalten das gleiche Argument steht, ist die Determinante Null)
3) normiert ist (d.h. die Determinante der Einheitsmatrix ist Eins).

Soweit so gut, nun heißt es man könne Existenz und Eindeutigkeit beweisen. Ich nehme mal an das stimmt, ist aber auch nicht das Thema das mich beschäftigt.

Die Frage die sich mir nun stellt: Warum wird die Determinante gerade über diese Eigenschaften definiert? Soll heißen, wodurch zeichnen sich diese Eigenschaften vor irgendwelchen anderen Eigenschaften aus, so dass man annimmt die entsprechende Abbildung enthält nützliche Information über die Matrix.

Ich hoffe es ist halbwegs klar, was ich mit dieser Frage meine. Für Anregungen und Erklärungen bedanke ich mich schon im Voraus.


Grüße,

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005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Definition Determinante
Diese Erklaerung der Determinante geht auf Weierstrass zurueck, also 19. Jhd. Da waren aber Determinanten als solche schon seit ~200 Jahren bekannt. Soll heissen: Weierstrass hat diese Definition nicht nach dem Motto "Also heut hab ich aber einen guten Tag. Ich definier jetzt mal was!" aus dem Aermel geschuettelt. Er wusste schon vorher, wofuer Determinanten alles gut sind. Seine Definition ist einfach nur der Anfang einer systematischen Begruendung der Determinanten, nicht ihre Erfindung.
 
 
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Am besten ist es, du machst es dir an einem Beispiel klar.
Nimm die Matrix und forme diese Mittels elementaren Umformungen in die einheitsmatrix um.
Du kannst so anfangen:


Warum gilt das? Welche Eigenschaft der von dir genannten ist das?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Determinante der drei Vektoren ist geometrisch das Volumen des 3-dimensionalen Parallelogrammes, welches durch diese 3 Vektoren aufgespannt wird.

Durch Verallgemeinerung dieses Volumenbegriffes auf n-dimensionale Parallelogramme entsteht der Begrieff Determinante. Solche n-dimensionalen Parallelogramme bezeichnet man auch als "Spat" oder "Parallelepiped".

Hier kann die Frage entstehen, warum das Volumen eines solches Paralleleogrames auch negativ werden kann, wenn man das Vorzeichen eines Vektors ändert. Aus formal mathematischer Sicht ist das klar. Stell dir einen quaderförmigen Gummi-Eimer mit dem Volumen V=10 Liter vor (=3-dim. Parallelogramm). Wenn man diesen Gummi-Eimer "auf links dreht", so bekommt er ein negatives Volumen V=-10 Liter, denn durch das "Auf-Links-Drehen" wurde das Vorzeichen eines Vektors geändert (nämlich der Höhe).

Wenn dagegen die drei Vektoren , welche den quaderförmigen Gummi-Eimer aufspannen, linear abhängig sind, so ist dessen Volumen V=0. Dies ist anschaulich klar, denn die 3 Vektoren liegen in diesem Falle in einer Ebene, so dass der Eimer "platt" ist.
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