Determinante bei der Addition von Matrizen

23.01.2018, 08:35

el_physico

Determinante bei der Addition von Matrizen

Für welche reellen Werte von a,b,c,d,e,f ist die Matrix invertierbar?
Berechne die Inverse.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & e & f \\ 0 & b & d \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit ich die Inverse berechnen darf a,b und c nicht 0 sein.

Um die Inverse zu berechnen hänge ich Rechts die Einheitsmatrix an. Ab hier komme ich nicht mehr weiter. Könnte mir jemand aufzeigen wie ich die 1. Zeile (a d e) zu (1 0 0) umformen kann?
Ich denke danach kann ich gut selber weiter machen.

Vielen Dank für eure Hilfe.

Grüsse
Physico

23.01.2018, 09:35

Ehos

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Eine Matrix ist invertierbar, wenn die Determinante nicht verschwindet.

23.01.2018, 10:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von el_physico
Könnte mir jemand aufzeigen wie ich die 1. Zeile (a d e) zu (1 0 0) umformen kann?
Ich denke danach kann ich gut selber weiter machen.

"Danach" ist nicht mehr viel, das ist nahezu der letzte Schritt. Augenzwinkern

Du kennst doch das Gaußsche Eliminationsverfahren. Der erste Teil (Umformen bis zur Dreiecksgestalt) entfällt hier, da bereits eine solche Dreiecksgestalt vorliegt. Bleibt also nur der zweite Teil, von dem ich mal die ersten beiden Schritte nenne:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{lll|lll} a & e & f & 1 & 0 & 0\\ 0 & b & d & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & c & 0 & 0 & 1\end{array} \end{eqnarray*}$

Division aller Zeilen durch das jeweilige Hauptdiagonalenelement:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{lll|lll} 1 & \frac{e}{a} & \frac{f}{a} & \frac{1}{a} & 0 & 0\\ 0 & 1 & \frac{d}{b} & 0 & \frac{1}{b} & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{c}\end{array} \end{eqnarray*}$

Subtraktion des $\begin{eqnarray*} \frac{e}{a} \end{eqnarray*}$ -fachen der zweiten Zeile von der ersten:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{lll|lll} 1 & {\color{red}0} & \frac{fb-ed}{ab} & \frac{1}{a} & -\frac{e}{ab} & 0\\ 0 & 1 & \frac{d}{b} & 0 & \frac{1}{b} & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{c}\end{array} \end{eqnarray*}$

Klar, wie es weitergeht?

23.01.2018, 17:32

el_physico

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Vielen Dank für die schnelle Antwort. Jetzt ist es klar.
Bis zu: "Division aller Zeilen durch das jeweilige Hauptdiagonalenelement" bin ich auch gekommen und dann stand ich irgendwie auf dem Schlauch.
Freude

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