Integral berechnen

23.01.2018, 15:17

Andii94

Integral berechnen

Hallo zusammen,

kann mir jemand helfen, wie ich folgendes zeige:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^{\infty } \! exp(-\pi (t+z)^2) \, dt=1 \ ,\forall z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$

Als Tipp habe ich erhalten, dass ich zunächst die Konstanz der Funktion $\begin{eqnarray*} f(z)=\int_{-\infty }^{\infty } \! exp(-\pi (t+z)^2) \, dt \end{eqnarray*}$ zeigen soll. Wie könnte ich das machen?

Kann mir jemand helfen? Danke im voraus!

23.01.2018, 16:07

HAL 9000

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Zunächst mal gilt $\begin{eqnarray*} f(a+ib) = f(ib) \end{eqnarray*}$ , was durch eine einfache lineare Substitution $\begin{eqnarray*} u=t+a \end{eqnarray*}$ begründbar ist.

Die Verschiebung um $\begin{eqnarray*} ib \end{eqnarray*}$ ist anders geartet, denn hier verschieben wir die Integrationsgerade in der Gaußschen Zahlenebene um $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ in Imaginärrichtung. Dennoch kann man hier $\begin{eqnarray*} f(ib)=f(0) \end{eqnarray*}$ nachweisen: Es ist

$\begin{eqnarray*} f(0) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \exp(-\pi t^2) ~ \dd t = \lim_{R\to\infty} \int\limits_{-R}^R \exp(-\pi t^2) ~ \dd t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(ib) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \exp(-\pi (t+ib)^2) ~ \dd t = \lim_{R\to\infty} \int\limits_{-R+ib}^{R+ib} \exp(-\pi t^2) ~ \dd t \end{eqnarray*}$

Für festes endliches $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ergänzen wir jetzt die vorhandenen Integrationsstrecken $\begin{eqnarray*} [-R,R] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [-R+ib,R+ib] \end{eqnarray*}$ durch zwei weitere (diesmal vertikale) Integrationsstrecken $\begin{eqnarray*} [-R,-R+ib] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [R,R+ib] \end{eqnarray*}$ zu einem Rechteck, das (in der richtigen Reihenfolge durchlaufen) einem geschlossenen Integrationsweg in der komplexen Zahlenebene entspricht. Nun ist $\begin{eqnarray*} u\mapsto \exp(-\pi u^2) \end{eqnarray*}$ holomorph, damit ist des Integral über diesen geschlossenen Weg gleich Null. Wenn man nun noch nachweist, dass die Integrale über $\begin{eqnarray*} [-R,-R+ib] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [R,R+ib] \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} R\to\infty \end{eqnarray*}$ verschwinden, dann ist man fertig mit dem Nachweis - so ein möglicher Plan zum Beweis der Konstanz der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

23.01.2018, 16:43

Andii94

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Integral berechnen
Wie zeige ich denn, dass die beiden neu ergänzten Wege verschwinden ? Und wie hilft mir es zu Zeigen, dass das Integral =1 ist

Bitte helfen Sie mir, ich komme leider nicht weiter ...

Vielen Dank im vorraus!

23.01.2018, 16:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von Andii94
Wie zeige ich denn, dass die beiden neu ergänzten Wege verschwinden ?

Einfach mal einsetzen und abschätzen:

Wenn wir $\begin{eqnarray*} [R,R+ib] \end{eqnarray*}$ parametrisieren durch $\begin{eqnarray*} u=R+ibs \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0\leq s\leq 1 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \dd u = ib ~ \dd s \end{eqnarray*}$ und weiter dann

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{R}^{R+ib} \exp(-\pi u^2) ~ \dd u = ib \int\limits_0^1 \exp(-\pi (R^2+2ibRs-b^2s^2)) ~ \dd s = ib \exp(-\pi R^2) \int\limits_0^1 \exp(-\pi 2ibRs)\exp(\pi b^2s^2) ~ \dd s \end{eqnarray*}$

Nun Betrag bilden unter Berücksichtigung der Dreiecksungleichung (Integralvariante):

$\begin{eqnarray*} \left| \int\limits_{R}^{R+ib} \exp(-\pi u^2) ~ \dd u \right| \leq |b| \exp(-\pi R^2) \int\limits_0^1 \exp(\pi b^2s^2) ~ \dd s \end{eqnarray*}$

Das Integral rechts liefert einen festen, von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ unabhängigen positiven Wert, während Vorfaktor $\begin{eqnarray*} \exp(-\pi R^2) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} R\to \infty \end{eqnarray*}$ verschwindet. Durch diese Majorisierung ist dann auch

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{R}^{R+ib} \exp(-\pi u^2) ~ \dd u \to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} R\to\infty \end{eqnarray*}$

klar, genauso für das andere Integral über $\begin{eqnarray*} [-R,-R+ib] \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Andii94
Und wie hilft mir es zu Zeigen, dass das Integral =1 ist

Gar nicht. Was ich skizziert habe, ist lediglich der Beweis, dass die Funktion konstant ist - nicht, dass dieser Konstanzwert gleich 1 ist.

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