Borel Borel Meßbar

23.01.2018, 16:06	Natalie__	Auf diesen Beitrag antworten »
Borel Borel Meßbar Meine Frage: Ist die Funktion $\begin{eqnarray} f: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x) := \begin{cases} \sin(x), \textrm{falls x rational} \\ \cos(x), \textrm{falls x irrational} \end{cases} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathcal B - \mathcal B \end{eqnarray}$ -meßbar? Meine Ideen: Bitte um Hilfe beim verstehen der Musterlösung. $\begin{eqnarray} f(x) = 1_{\mathbb Q } (x) \cdot \sin(x) + 1_{\mathbb Q \setminus \mathbb R } \cdot \cos(x) \end{eqnarray}$ Frage [1]: Warum habe ich aus den gegebenen Angaben genau diesen Ausdruck? Wo kommt die 1 (Indikator?) her? Ok Q da rational und R/Q da irrational. Aber warum Indikator 1? Frage [2]: Warum sind Q und R Borelmengen? Woran erkenne ich das? Oder ist es einfach per definiton so und ich muss es annehmen? Frage [3]: sind stetige Funktionen immer Meßbar? (sin x und cos x sind stetig) Vielen Dank an die Helfer
23.01.2018, 16:17	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein kleiner Fehler in der Darstellung der Mengendifferenz, es muss $\begin{eqnarray} f(x) = 1_{\mathbb Q } (x) \cdot \sin(x) + 1_{\mathbb R \setminus \mathbb Q }(x) \cdot \cos(x) \end{eqnarray}$ lauten. [1] Überprüfe doch einfach durch Einsetzen der beiden Fälle, dass diese Darstellung genau das leistet, was vorgegeben ist für die Funktion. (Was eine Indikatorfunktion ist, solltest du dabei selbst mal nachschlagen!) [2] Jede Einermenge ist eine Borelmenge, und da $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ als abzählbare (!) Vereinigung solcher Einermengen darstellbar ist, ist es auch eine Borelmenge. $\begin{eqnarray} \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ ist als Komplement einer Borelmenge auch eine Borelmenge - folgt alles aus den Basiseigenschaften einer Sigma-Algebra, und die Borel-Sigmaalgebra ist eine solche. [3] Stetige Funktionen sind immer Borelmessbar, ja: Da bei stetigen Funktionen die Urbilder offener Mengen stets offen sind, und die offenen Mengen ein Erzeugendensystem der Borel-Sigma-Algebra bilden, ist das ausreichend für den Messbarkeitsbeweis.

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