Abbildungsmatrix

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23.01.2018, 18:13	SimonMathe1	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungsmatrix Hallo, ich habe folgende Aufgabenstellung: Existiert ein Endomorphismus f von $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ so, dass $\begin{eqnarray} f(v_i) = w_i \end{eqnarray}$ mit i = 1, 2, 3 gilt? Wenn er existiert, geben Sie eine Abbildungsmatrix bzgl.der Standardbasis an: $\begin{eqnarray} v_1 = (1, 1, 0), v_2 = (0, 1, 1), v_3 = (-1, 1, 0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w_1 = (1, 2, 3), w_2 = (3, 2, 1),w_3 = (8, 4, 0). \end{eqnarray}$ Was muss ich da den genau tun? Muss ich überprüfen, dass es überhaupt eine lineare Abbildung ist? Vllt hilft mir schon ein kleiner Tipp
23.01.2018, 18:34	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
kleiner tipp: eine lineare abbildung ist durch die bilder einer basis eindeutig bestimmt.
23.01.2018, 18:51	SimonMathe1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok das ist dann das Prinzip der linearen Ausdehnung: Ich kann eine lineare Abbildung, wie folgt definieren: $\begin{eqnarray} <br /> f(v_1)=w_1<br /> f(v_2)=w_2<br /> f(v_3)=w_3 \end{eqnarray}$ Wie kann ich jetzt prüfen, ob das so funktioniert?
23.01.2018, 19:17	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die große Frage ist : Sind das die Bilder einer BASIS ?
23.01.2018, 19:23	SimonMathe1	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf welche Basis muss ich mich beziehen? auf die Standardbasis? Wie sehe ich, dass es die Bilder einer Basis sein könnten?
23.01.2018, 20:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} w_1,w_2,w_3 \end{eqnarray}$ sind die Bilder von $\begin{eqnarray} v_1,v_2,v_3 \end{eqnarray}$ , so ist es in der Aufgabe vorgegeben, und so hast du das definiert. Worauf kann es sich dann nur beziehen, wenn ich frage, ob $\begin{eqnarray} w_1,w_2,w_3 \end{eqnarray}$ die Bilder einer Basis sind ? Wenn du es noch nicht gemerkt hast: $\begin{eqnarray} w_1,w_2,w_3 \end{eqnarray}$ sind genau dann die Bilder einer Basis, wenn $\begin{eqnarray} \{v_1,v_2,v_3\} \end{eqnarray}$ eine Basis ist.
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23.01.2018, 21:10	SimonMathe1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja sie bilden eine Basis, da sie linear unabhängig sind und ein EZS bilden. Ich verstehe nur nicht was dann die Existenz eines Endomorphismus in diesem.Kontext bedeuten soll?
24.01.2018, 09:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, du kennst das Prinzip der linearen Ausdehnung (hast du jedenfalls oben geschrieben). $\begin{eqnarray} v_1,v_2,v_3 \end{eqnarray}$ ist eine Basis, jedem Basisvektor ist ein Bild $\begin{eqnarray} f(v_i)=w_i,i=1,2,3 \end{eqnarray}$ zugeordnet. Also gibt es genau eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ so dass $\begin{eqnarray} f(v_i)=w_i \end{eqnarray}$ ist. Das ist das bekannte Prinzip der linearen Ausdehnung: Basisvektoren beliebige Bilder zuordnen, lineare Abbildung fertig.
24.01.2018, 12:01	SimonMathe1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja gut D.h ich habe eine lineare Abbildung. Wie bekomme ich meine Abbildungsmatrix?
24.01.2018, 12:05	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso weißt du das nicht ? Was steht IMMER in den Spalten einer Darstellungsmatrix ?
24.01.2018, 12:07	SimonMathe1	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Koeffizienten der Darstelllung der Bilder der Basis bzgl der kanonischen. D.h ich muss meine wi mit der kanonischen Basis darstellen und die Koeffizieten in die Matrix schreiben oder?
24.01.2018, 12:10	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, weil die Darstellungsmatrix laut Aufgabenstellung bezüglich der Standardbasis gesucht wird. Ne, Quatsch. Du musst die Standardbasis abbilden. Die wi helfen nur dabei, die Abbildung zu definieren.
24.01.2018, 13:00	SimonMathe1	Auf diesen Beitrag antworten »
D.h ich muss ein Gls aufstellen mit einer allgemeinen 3x3 Matrix oder wie bekomme ich die Abbildungsvorschrift explizit?
24.01.2018, 13:13	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst ja die Abbildungsmatrix bezüglich der Basis <v1, v2, v3> aufstellen und mußt dann anschließend noch mit der Basiswechselmatrix von der Standardbasis auf <v1, v2, v3> multiplizieren.
24.01.2018, 13:19	SimonMathe1	Auf diesen Beitrag antworten »
D.h ich habe einmal die Abbildungsmatrix mit wi als Spalten und 2. die Matrix von Koeffizienten der Darstellung der Standardvektoren in v. Warum kommt dann meine gesuchte Abbildubgsmatrix raus?
24.01.2018, 13:21	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} e_2=\frac 1 2 v_1+\frac 1 2 v_2 \end{eqnarray}$ sehe ich sofort, und damit liegt das Bild $\begin{eqnarray} f(e_2) \end{eqnarray}$ fest. Ja, es geht auch anders, aber geht es auch einfacher ?
24.01.2018, 13:32	SimonMathe1	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn man es nicht sehen würde, warum funktioniert dann der Weg von Klarsoweit?
24.01.2018, 13:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Basiswechsel funktioniert immer, genau das ist ja der Sinn von Darstellungsmatrizen bezüglich verschiedener Basen : https://de.wikipedia.org/wiki/Basiswechsel_(Vektorraum) Entweder muss man die Theorie lernen und anwenden können, oder man muss LGSe aufstellen und lösen können, oder man muss schnell mal rechnen.
24.01.2018, 14:15	SimonMathe1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau. Ich würde gerne wissen, wie man das Gls aufstellt. Wie kann ich das machen? Nehme ich also die allgemeine Matrix wende jeweils diese jeweils auf die vi an und setze als Ergebnis wi oder?
24.01.2018, 18:04	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineares Gleichungssystem ohne Basiswechseltheorie : $\begin{eqnarray} e_1=a_{11}v_1+a_{12}v_2+a_{13}v_3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e_2=a_{21}v_1+a_{22}v_2+a_{23}v_3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e_3=a_{31}v_1+a_{32}v_2+a_{33}v_3 \end{eqnarray}$ LGS lösen und dann die Linearität von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ausnutzen: $\begin{eqnarray} f(e_1)=f(a_{11}v_1+a_{12}v_2+a_{13}v_3)=a_{11}f(v_1)+a_{12}f(v_2)+a_{13}f(v_3)=a_{11}w_1+a_{12}w_2+a_{13}w_3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(e_2)=f(a_{21}v_1+a_{22}v_2+a_{23}v_3)=a_{21}f(v_1)+a_{22}f(v_2)+a_{23}f(v_3)=a_{21}w_1+a_{22}w_2+a_{23}w_3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(e_3)=f(a_{31}v_1+a_{32}v_2+a_{33}v_3)=a_{31}f(v_1)+a_{32}f(v_2)+a_{33}f(v_3)=a_{31}w_1+a_{32}w_2+a_{33}w_3 \end{eqnarray}$ "Ok das ist dann das Prinzip der linearen Ausdehnung" (hast du gesagt).
24.01.2018, 19:05	SimonMathe1	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, das habe ich verstanden Jetzt geht es nochmal um die Basiswechseltheorie: Wenn ich die Darstellungsmatrix konkret konkret gegeben hätte, könnte ich die Darstellungsmatrix bzgl der neuen Basis wie folgt erhalten: Ich multipliziere die nicht vorhandende Darstellungsmatrix mit der Basiswechselmatrix von meiner ursprünglichen Basis zur kanonischen von links und dann weil ich einen Endomorphismus habe, die Inverse davon von rechts. Aber ich habe ja die Darstellungsmatrix nicht . Sehe ich was falsch?
24.01.2018, 19:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist so schwammig formuliert, dass es falsch sein muss. Mit irgend etwas muss man immer anfangen, man kann nicht sagen, es gebe keine Matrix. Du kannst doch die Matrix in der Basis $\begin{eqnarray} v_i \end{eqnarray}$ schreiben und dann in die Standardbasis wechseln. (siehe Vorschlag von klarsoweit)
24.01.2018, 20:25	SimonMathe1	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Matrix in der Basis von den vi hat doch als Spalten die wi?
24.01.2018, 21:53	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, die w_i sind in der Standardbasis gegeben. Statt falsch zu raten musst du einige wenige von allen denkbaren Rechnungen durchführen und die Ergebnisse vergleichen.
24.01.2018, 21:58	SimonMathe1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe es nicht. Wie bekomme ich die Matrix in vi?
24.01.2018, 22:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Was hast du gegen meinen simplen Ansatz ? Rechne den erst einmal durch. Lerne dann etwas über Basiswechsel, und mache damit Vergleichsrechnungen.
24.01.2018, 22:05	SimonMathe1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe nichts gegen deine Ansatz. Ich würde nur gerne wissen, wie ich diese Matrix aufstellen. Kannsz du mir es bitte sagen
24.01.2018, 22:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur wenn du auch mal etwas anderes gemacht hast als immer wieder fragen. Das wird langweilig.
24.01.2018, 22:11	SimonMathe1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich brauche meine Abbildungsmatrix der vi, d.h ich muss die wi als Linearkombination der vi darstellen und die Koeffzienten bilden meine Matrix.
24.01.2018, 22:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann mach doch.
24.01.2018, 22:21	SimonMathe1	Auf diesen Beitrag antworten »
Also stimmt das?
24.01.2018, 23:43	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja... Elvis würde dich doch nie in eine falsche Richtung laufen lassen... oder, Elvis?
25.01.2018, 08:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nie ! Ich gebe einen guten Tipp nach dem anderen ab und verstehe gar nicht, was es da noch zu Zögern gibt. Ist doch nur bisschen Rechnen gefragt, das tut doch nicht weh.
25.01.2018, 11:56	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Manche möchten das lieber seitenlang ausdiskutieren, bevor sie auch nur ein winziges bisschen selber rechnen. Für Geisteswissenschaftler wohl völlig Ok - bei MINT-Studenten kriege ich bei solchem Verhalten aber ein ziemliches Stirnrunzeln.
25.01.2018, 17:29	SimonMathe1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss erstmal die Theorie besser verstehen, bevor ich weiter mache. Ich danke euch auf alle Fälle.
25.01.2018, 18:24	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das musst du überhaupt nicht. Ich habe dir einen Weg gezeigt, den jedes kleine Kind verstehen muss. $\begin{eqnarray} e_2=\frac 1 2 v_1+\frac 1 2 v_2 \Rightarrow f(e_2)=\frac 1 2 w_1+\frac 1 2 w_2 \end{eqnarray}$ . Wieso brauchst du da noch eine Theorie ?
30.01.2018, 22:52	RomanGa	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Simon, v1, v2, v3 sind die Basisvektoren. w1, w2, w3 sind deren Bilder. C = (v1, v2, v3). D = (w1, w2, w3). A = D * C^(-1). A = ( -3,5 4,5 -1,5) ( -1 3 -1) (1,5 1,5 -0,5)
30.01.2018, 22:55	SimonMathe1	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Roman. Wie bist du auf folgendes gekommen: A = D * C^(-1)?
30.01.2018, 23:06	RomanGa	Auf diesen Beitrag antworten »
Intuitiv. So rein nach Gefühl. Ungefähr so: w = D * e und v = C * e. => Ineinander einsetzen => w = D * C^(-1) * v. Dabei ist w ein Vektor zur Basis w, v ein Vektor zur Basis v und e ein Vektor zur Basis e. Muss aber nochmal drüber nachdenken. Das Ergebnis stimmt aber, man kann ja leicht die Probe machen. w1 = A * v1 usw.
30.01.2018, 23:12	SimonMathe1	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir auf jeden Fall Ich überlege auch nochmal. Vllt fällt mir auch noch was ein

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