Bedingte Wahrscheinlichkeit Bakterien

23.01.2018, 22:05

sensen00

Bedingte Wahrscheinlichkeit Bakterien

Meine Frage:
Ein Bakterien-Test ist positiv bei der Personen, die mit einem Bakterium infiziert sind.
Der Test ist negativ bei 97% der personen, die nicht mit dem Bakterium infiziert sind.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person bei positivem Testergebnis tatsächlich infiziert ist, beträgt 89%. Wie viel Prozent der Personen sind mit dem Bakterium infiziert.

Meine Ideen:
A: hat Virus
A': hat kein Virus
B: positiver Test
B': negativer Test

Ich habe einen Baum gezeichnet, der zuerst zu A und A' geht.
Ich habe alle bedingten Wahrscheinlichkeiten, also P(B/A)=0,98, P(B'/A) = 0,02 etc.
Zusätzliche habe ich P(A/B) = 0,89
Das könnte ich jedoch nur in einem umgekehrten Baum einzeichnen.
Stimmt das schon mal soweit?

Nun habe ich keine Ahnung, wie es weitergeht. Kann mir jemand helfen?

24.01.2018, 09:47

klauss

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RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit

Zitat:

Ein Bakterien-Test ist positiv bei der Personen, die mit einem Bakterium infiziert sind.

Im Hinblick auf Deine folgende Angabe fehlt hier wohl noch eine Zahl. So müßte man annehmen, dass tatsächlich infizierte Personen mit 100%iger Wahrscheinlichkeit erkannt werden.

Im übrigen empfehle ich zur Vermeidung weiterer Verwirrung immer "sprechende" Variablen, z. B.
$\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ : infiziert
$\begin{eqnarray*} \overline I \end{eqnarray*}$ : nicht infiziert
$\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ : Test positiv
$\begin{eqnarray*} \overline P \end{eqnarray*}$ : Test negativ

24.01.2018, 10:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von sensen00
Ich habe alle bedingten Wahrscheinlichkeiten, also P(B/A)=0,98, P(B'/A) = 0,02 etc.

Keine Ahnung, wie du auf diese Zahlen kommst. Ich lese aus den Angaben P(B|A)=1 (wie klauss) sowie P(B'|A')=0.97, sowie wie du P(A|B)=0.89.

Zitat:

Original von sensen00
Das könnte ich jedoch nur in einem umgekehrten Baum einzeichnen.

Was auch immer du damit meinst, vielleicht ja sinngemäß das:

Ziehe die Rechnungen durch, wie du sie kennst, nur eben mit einer zunächst noch unbekannten Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p=P(A) \end{eqnarray*}$ (und demzufolge dann $\begin{eqnarray*} P(A')=1-p \end{eqnarray*}$ ). Am Ende steht dann eine Gleichung für dieses $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , die du auflösen kannst.

24.01.2018, 10:25

sensen00

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RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Ups sorry. Ist positiv bei 98% der Personen...
Weiss leider nicht wie man die Striche oben macht verwirrt

24.01.2018, 10:42

sensen00

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Sorry für das Fehlen der einen Angabe. Ich versuche es in der Mittagspause so zu lösen, wie von dir vorgeschlagen. Danke.

24.01.2018, 14:27

sensen00

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Ich habe es jetzt länger versucht, aber komme auf kein richtiges Resultat. Kannst du mir noch weiterhelfen?
Bin gerade am verzweifeln...

24.01.2018, 14:47

HAL 9000

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Gemäß Formel der totalen Wahrscheinlichkeit ist

$\begin{eqnarray*} P(B) = P(B\mid A)P(A)+P(B\mid A')P(A') = 1\cdot p + 0.03\cdot (1-p) = 0.03+0.97p \end{eqnarray*}$ .

Und dann ist einerseits $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) = P(B\mid A)P(A) = p \end{eqnarray*}$ und andererseits $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) = P(A\mid B)\cdot P(B) = 0.89(0.03+0.97p) \end{eqnarray*}$ . Gleichsetzen beider Werte führt auf die von mir oben erwähnte Bestimmungsgleichung für $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ .

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