Zeige, dass der Faktorring ein Integritätsring ist |
| 24.01.2018, 11:43 | chrissi1993 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Zeige, dass der Faktorring ein Integritätsring ist Hallo zusammen, ich benötige etwas Hilfe bei folgender Aufgabe: Prüfe ob der Ring ein Integritätsring ist. Meine Ideen: Ich weiß aus der Vorlesung das Z[X] selbst schonmal ein Integritätsring ist, da auch Z ein Integritätsring ist. Desweiteren weiß ich, dass R/I Integritätsring ist wenn I Primideal ist. Bleibt also zu zeigen das das angegebene Polynom I=(f)=(X^3 -3X-15) Primideal ist. Jedoch bin ich mir nicht sicher wie ich dies zeigen kann. Ich habe bisher nur gesehen das Primideale der Form (p,f) waren , mit p Primzahl und f irreduzibel Mod p. Ich weiß das f irreduzibel über Z[X] da es nur Nullstellen in R und C hat. Wenn ich jetzt zum Beispiel (1,f) betrachte mit der 1 als primzahl so würde f ja gleich bleiben und weiterhin irreduzibel sein. Oder auch für (2,f) wäre f mod2= (X^3 -X-1) irreduzibel in Z. Aber reicht dies als Beweis? Kann man p=Prim selbst wählen? Ist dies überhaupt die richtige Vorgehensweise? Bitte um Hilfe und Vorschläge! Gruß Chrissi |
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| 24.01.2018, 11:57 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist über dem Körper irreduzibel, also prim (es reicht auch schon faktoriell : https://de.wikipedia.org/wiki/Irreduzibles_Polynom ) . Also prim. darfst du nicht nehmen, denn ist immer der ganze Ring. ist - aus guten Gründen - keine Primzahl. |
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| 24.01.2018, 17:49 | chrissi1993 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke dir für die schnelle Rückmeldung! Ich habe jedoch zwei offene Fragen: (1) Argumentieren das Z faktoriell ist, wäre für mich nicht möglich, da wir in der Definition das R faktoriell ist, voraussetzen das R Integritätsring ist, das soll ich ja erst einmal zeigen.... Genauso wie sämtliche Sätze zu Irreduzibilität über Z oder Q fordern das der Körper faktoriell ist, wie kann ich damit umgehen, darf ich diese Sätze trotzdem verwenden ? Andernfalls ist mir nicht klar wie ich die Irreduzibilität zeigen könnte.. Und du sagtest da f über Q irred. ist, ist (f) prim. Ist dies ein spezieller Satz oder weißt du dies einfach ? Denn ich finde solch eine Aussage im Skript leider nicht.. (2) Ich wollte ursprünglich woanders drauf hinaus, und zwar haben wir bisher nur Aufgaben folgender Art gehabt: Prüfe ob Integritätsring ist. Und dabei sind wir so vor gegangen: und das gilt wegen: mit und da 5 Primzahl ist, ist Z/5Z Integritätsbereich und somit auch der Faktorring . Jedoch besteht das Ideal in meiner anfangs beschriebenen Aufgabe ja nur aus I=(f), nicht aus I=(p,f). Deshalb war auch meine Frage ob ich einfach ein p frei wählen kann um zu prüfen ob I=(p,f) primideal ist, oder sind dies 2 grundsätzlich verschiedene Aufgaben ? Mein Ziel ist es eine Vorgehensweise zu entwickeln die ich allgemein anwenden kann, wenn ich mich auf die Suche nach Primidealen bzw. der Frage nach einem Integritätsbereich mache 
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| 24.01.2018, 18:10 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du musst noch viel lernen, und ich weiß gar nicht, wo ich anfangen soll. Du hättest ja schon mal lesen können, was ich dir bei Wikipedia empfohlen habe, dann hättest du einen Teil der Fragen nicht mehr stellen brauchen. Aus alten Aufgaben, die du nicht verstanden hast, darfst du jedenfalls nicht auf neue Aufgaben schließen, die du nicht verstehst. Erst kommt die Theorie, dann kommt das Verständnis, dann kommt die Übung, ... Tut mir leid, Algebra ist viel zu kompliziert, viel zu schön und viel zu wichtig, um mal eben nebenbei in Kochrezepten abgehandelt zu werden. Es gibt keine Kochrezepte, wenn du Mathematik verstehen willst, musst du Mathematik machen. Empfehlung: Siegfried Bosch, "Algebra", Springer Verlag (Superbuch für Einsteiger, Fortgeschrittene und Experten. Kann man mindestens 3 mal lesen, man lernt jedes mal dazu, hält ein Leben lang). |
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| 24.01.2018, 19:06 | chrissi1993 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tut mir leid, ich habe deinen Link nur überflogen, dies war mein Fehler... Es steht dort ja "Man beachte dazu, dass ein Polynom aus einem faktoriellen Ring R genau dann prim ist, wenn das Polynom entweder konstant einem Primelement ist, oder irreduzibel und primitiv in dem Quotientenkörper über R " Also könnte ich Argumentieren: f ist irred. über Quot(Z)=Q, denn mittels Reduktionskriterium mit f mod 2 = x^3 +x+1 folgt das f keine Nst. in Z/2Z hat und somit ja irred. in Z/2Z ist und somit auch in Z und somit in Q. Primitiv ist es sowieso da ggT der Koeffizienten = 1 ist. Somit ist (f) prim und meine anfängliche Argumentation erledigt den Rest. Stimmt dies soweit? Tut mir leid das ich so allgemein gefragt habe, das war nicht wirklich zielführend. Jedoch muss ich zugeben das mir Algebra sehr schwer fällt und auch weniger meinen Interessen entspricht, egal ob Privat oder Beruflich. Somit ist mein Ziel wirklich nur die kommende Klausur zu bestehen und ich hoffe, egal wie verwerflich du mein Vorhaben auch findest, noch eine Antwort von dir zu bekommen. 
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| 24.01.2018, 19:38 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Für Einsteiger m.E. nicht zu empfehlen. Dafür meine Empfehlung: Karpfinger/Meyberg. |
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| 24.01.2018, 19:51 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Einverstanden. Danke. |
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