Folgen auf Konvergenz untersuchen, ggf. Grenzwert bestimmen

24.01.2018, 18:20	SimonAP	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgen auf Konvergenz untersuchen, ggf. Grenzwert bestimmen Meine Frage: Ich soll die folgenden Folgen auf Konvergenz untersuchen und ggf. den Grenzwert bestimmen: $\begin{eqnarray} \text{1.) }\sqrt{n^2+n}-n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{2.) }\prod_{k=2}^{n}(1-\frac{1}{k^2}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{3.) }{n!}^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich benutze die epsilon-Definition vom Grenzwert und habe Folgendes zum Beweisen angenommen: 1.) konvergent gegen 1/2 2.) konvergent gegen 1/2 3.) divergent gegen +inf Solange die Annahmen korrekt sind gilt folgendes: Bei 1-2 habe ich entweder Probleme beim Umformen oder mir sind irgendwelche Verfahren nicht bekannt, die das einfacher/möglich machen zu lösen. Bei 3 habe ich aus der epsilon-Definition entnommen, dass es für die Divergenz mindestens ein epsilon geben muss, für das die Aussage nicht gilt. Das kann ich nur leider irgendwie nicht beweisen.
24.01.2018, 18:57	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso willst du das unbedingt mit der Epsilon-Definition machen? Das dürfte hier nicht so einfach funktionieren. (Außerdem ist ja bestimmte Divergenz gegen $\begin{eqnarray} +\infty \end{eqnarray}$ anders definiert.) Ich würde stattdessen die Grenzwertsätze benutzen: Bei a) erweitere mit $\begin{eqnarray} \sqrt{n^2+n}+n \end{eqnarray}$ . Bei b) kannst du $\begin{eqnarray} 1-\frac{1}{k^2}=\frac{(k-1)(k+1)}{k^2} \end{eqnarray}$ umformen. Schreib dir mal die ersten paar Faktoren hin; fällt dir dabei etwas auf? Für c) würde ich zuerst die Abschätzung $\begin{eqnarray} n!\geq \left(\frac n2\right)^\frac n2 \end{eqnarray}$ beweisen.

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