Inkreis Kreissektor

24.01.2018, 19:04

marihoene

Inkreis Kreissektor

Meine Frage:
Hallo zusammen!
Folgende Aufgabe ist gegeben:
Ein Kreissektor (alpha=60°, r=3cm, Mittelpunkt M, A und B: den Kreisbogen begrenzende Punkte) ist gegeben. Darein soll ein Kreis einbeschrieben werden, der den Kreisbogen des Kreissektors sowie die beiden Strecken MA und MB berührt. Man soll den Radius dieses Inkreises bestimmen. Ich habe leider überhaupt keine Ahnung, wie man da auch nur anfangen soll!
Kann mir jemand helfen?
DANKE!
marihoene

Meine Ideen:
keine Ahnung, es tut mir leid... zeichnerisch darf man übrigens nicht herangehen...

24.01.2018, 20:06

sibelius84

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Hi,

ich würde mir das ganze mal so modellieren:

-> den Mittelpunkt des Kreises legen wir in den Ursprung: M(0|0)

-> dann bestimmen wir zwei Ursprungsgeraden, eine steigend, eine fallend, mit jeweils 30° Steigungs- bzw. Gefällewinkel, d.h. konkret

$\begin{eqnarray*} g_1(x)=\tan(30^\circ)\cdot x = \frac{1}{\sqrt{3}} x, \qquad g_2(x)= - \frac{1}{\sqrt 3} x \end{eqnarray*}$ .

Wir wissen bereits, dass jeder Punkt, um den es einen Kreis gibt, der sowohl MA und MB tangiert, auf der Winkelhalbierenden des Winkels AMB liegen muss. Dies ist hier nach Konstruktion gerade die x-Achse (dafür war oben die Ermittlung der Geraden mit +/- 30°). Wir suchen also eine Zahl $\begin{eqnarray*} 0<\xi <3 \end{eqnarray*}$ , so dass es um den Punkt $\begin{eqnarray*} N(\xi\vert 0) \end{eqnarray*}$ einen Kreis gibt, der MA, MB (also $\begin{eqnarray*} g_1, g_2 \end{eqnarray*}$ ) und den Kreisbogen zwischen A und B tangiert.

Da der Radius R des großen Kreises gegeben ist mit R=3 cm, erhalten wir für den Radius r des kleinen Kreises: $\begin{eqnarray*} r=3-\xi \end{eqnarray*}$ , wenn er den großen Kreis tangieren soll.

Nun kann man ein zweites Mal r in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ bestimmen, weil er ja auch die Geraden $\begin{eqnarray*} g_1, g_2 \end{eqnarray*}$ tangieren soll. Hast du evtl. dazu eine Idee? (Hinweis: kürzester Abstand = orthogonaler Abstand)

Man kommt dann mit relativ komplizierten Rechnungen, in denen sehr oft $\begin{eqnarray*} \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ vorkommt, auf sehr einfache und schöne Ergebnisse für $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ .

LG
sibelius84

24.01.2018, 20:40

Leopold

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Ich will eine Alternative vorschlagen, die gänzlich ohne Analytische Geometrie auskommt.

Spiegle den Mittelpunkt $\begin{align*} N \end{align*}$ des Inkreises an einer der Strecken, die den Sektor begrenzen. Der Spiegelpunkt $\begin{align*} N' \end{align*}$ bildet mit $\begin{align*} N \end{align*}$ und $\begin{align*} M \end{align*}$ die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks. Die Länge der Strecke $\begin{align*} NN' \end{align*}$ kannst du mit Hilfe des Inkreisradius $\begin{align*} \varrho \end{align*}$ ausdrücken, denn der Inkreis berührt ja die Radiusstrecken des Sektors. Die Länge der Strecke $\begin{align*} MN \end{align*}$ kannst du mit Hilfe von $\begin{align*} r \end{align*}$ und $\begin{align*} \varrho \end{align*}$ ausdrücken, denn der Inkreis berührt ja den Bogen des Sektors. Aber $\begin{align*} MN \end{align*}$ und $\begin{align*} NN' \end{align*}$ sind ja gleich lang ...

24.01.2018, 21:59

riwe

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oder vielleicht so wie im Bilderl

$\begin{eqnarray*} sin30°=\frac{1}{2}=... \end{eqnarray*}$

24.01.2018, 22:08

Bürgi

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RE: Inkreis Kreissektor
Guten Abend

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sofern bekannt ist, dass $\begin{eqnarray*} \sin(30^\circ)=\frac12 \end{eqnarray*}$

kann man aus

$\begin{eqnarray*} (r-x)\cdot \sin(30^\circ)=x \end{eqnarray*}$

das Ergebnis im Kopf berechnen.

EDIT: Sorry, riwe, habe ich zu spät gesehen, dass Du den Ansatz schon bereitgestellt hast. Ich bin dann mal weg ... Wink