Inhomogene quadratische Differentialgleichung lösen

24.01.2018, 21:21

Mydreams

Inhomogene quadratische Differentialgleichung lösen

Ich hoffe ich hab den richtigen Titel erwischt...

Hallo, ich habe eine Differentialgleichung mit der ich wenig anzufangen weiß. Sie hat die Form

$\begin{eqnarray*} y'' + k * y^{2} = g \end{eqnarray*}$

wobei k und g zwei Konstanten sind.

Ich würde sie gerne nach y(t) lösen und habe es auch schon versucht (z.B. indem ich u = y^2 eingesetzt habe, was es noch schlimmer gemacht hat), doch leider vergebens.
Meine Frage wäre, ob man diese Gleichung lösen kann, und wenn ja wie.

Danke im Voraus

25.01.2018, 10:56

Huggy

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RE: Inhomogene quadratische Differentialgleichung lösen
Bring $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ auf die linke Seite und multipliziere die Gleichung dann mit $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ . Danach lässt sich die gesamte linke Seite als Ableitung eines Terms schreiben. Dieser Term muss konstant sein, da seine Ableitung $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist.

25.01.2018, 11:51

Mydreams

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Ich verstehe leider nicht ganz was du meinst. Wieso kann ich es als Ableitung eines Terms schreiben, wenn ich die Gleichung mit y' multipliziere? Mir fehlt der Zwischenschritt hier.

25.01.2018, 12:19

Huggy

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Man muss sich das halt mal ansehen. Wie schon die Alten sagten: Ohne Fleiß kein Preis. Und hier braucht man recht wenig Fleiß.

$\begin{eqnarray*} y''y'+ky^2y'-gy'=\frac d {dx}\left( \frac 1 2 (y')^2+ \frac k 3 y^3 -gy \right ) \end{eqnarray*}$

Lag das wirklich außerhalb deiner Möglichkeiten?

25.01.2018, 13:05

Mydreams

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Aha, jetzt hab ichs. Ich hatte nicht verstanden, was ich überhaupt tun musste. War ein bisschen dumm von mir, sorry Hammer

.
Ich war übrigens gerade auf dieselbe Formel gekommen, indem ich v=y' eingesetzt hatte. Deine Methode ist aber viel schneller.

Jetzt habe ich aber nur eine weitere DGL, die ich nicht lösen kann, nähmlich, falls ich mich nicht irre,

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} (y')^{2} + \frac{k}{3} y^{3} -g y + C = 0 \end{eqnarray*}$

Hättest du da auch einen Ansatz für mich?

(sorry dass ich so ahnungslos bin, ich hab noch nie nichtlineare DGLs gelöst)

25.01.2018, 13:17

Huggy

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Nach $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ auflösen, dann Trennung der Veränderlichen.

P. S. Falls weitere Fragen, ich muss jetzt erst mal weg.

27.01.2018, 23:25

Mydreams

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Habs gemacht, es kommt ein Integral raus, von dem ich fürchte, dass es nur numerisch lösbar ist. Gibt es ein konstenloses Programm zum lösen solcher Integrale?

28.01.2018, 09:02

Huggy

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Zitat:

Original von Mydreams
Habs gemacht, es kommt ein Integral raus, von dem ich fürchte, dass es nur numerisch lösbar ist.

Ja, sieht so aus.

Zitat:

Gibt es ein konstenloses Programm zum lösen solcher Integrale?

Das sollte sich bei WolframAlpha machen lassen.

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