Matrix Gleichung mit Unbekannten |
| 25.01.2018, 16:18 | Weiter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Matrix Gleichung mit Unbekannten Gegeben ist das lineare Gleichungssystem mit dem Parameter p?? x1 x2 -x3 = 1 2x1 3x2 px3 = 3 x1 px2 3x3 = 2 i) Für welchen Wert von p hat das LGS keine Lösung? ii) Für welchen Wert von p hat das LGS unendlich viele Lösungen? Meine Ideen: Also zu ii) Hier löse ich nach p auf und erhalt 2. Soweit kein Problem. Der Ansatz zu ii) ist: Ich muss es schaffe, dass die Matrix widersprüchlich wird, indem das p geeignet eingesetzt wird. Daher die Überlegungen: x1 lasse ich außen vor, hat in dieser Aufgabe keine Bedeutung für mich. x2 und x3 der 2. Reihe sind x3 und x2 der 3. Reihe. Somit muss ich die Widersprüchlichkeit in x1 erzeugen. => ich setze für p=-3 ein. ergo: 2x1 + 3 - 3 = 3 => x1= 1,5 1x1 -3 +3 = 2 =>x1 = 2 Ist das so korrekt? |
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| 25.01.2018, 16:28 | sixty-four | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bevor sich jemand ernsthaft damit beschäftigt solltest du noch einmal bestätigen, dass es das ist was du meinst: |
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| 25.01.2018, 16:36 | Weiter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@sixty-four Da war ich wohl zu schnell unterwegs. Deine Antwort ist was ich gemeint habe. |
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| 25.01.2018, 16:45 | sixty-four | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann würde ich jetzt zuerst die Determinante der Koeffizientenmatrix berechnen. Das ist eine Funktion von p. Die Nullstellen dieser Funktion sind die p-Werte, für die es keine eindeutige oder überhaupt keine Lösung gibt. Das kannst du dann entscheiden, wenn du die Werte kennst. Du kannst es natürlich auch mit dem Gauß-Algorithmus machen. Ich weiß ja nicht welche Methode du bevorzugst. Übrigens: Das Thema passt eigentlich mehr so in die Algebra. In der Analysis geht es mehr so um Funktionen und Grenzwerte. |
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| 25.01.2018, 17:13 | Weiter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also wende ich die Regel von Sarrus an, habe dann meine det(A) (Ich nenne die Matrix jetzt einfach A). dann habe ich det(A)=-1p^2 - 1 p + 6 Mit der Mitternachtsformel zu p1 = -3 v p2 = 2 Kannst du mir bitte noch erklären woher ich jetzt weiß, welcher Wert eine eindeutige oder überhaupt keine Lösung ergibt, oder löse ich das durch Einsetzen? |
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| 25.01.2018, 18:20 | sixty-four | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du setzt die Werte ein, nimmst die rechte Seite mit hinzu (als 4. Spalte) und versuchst (indem du eine der ersten 3 Spalten wegstreichst) eine Unterdeterminante zu finden, die von 0 verschieden ist. Wenn das der Fall ist, ist das Gleichungssystem für diesen Wert von p nicht lösbar. Wenn alle drei Unterdeterminanten 0 sind, dann gibt es unendlich viele Lösungen. |
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| 25.01.2018, 18:53 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn es nicht nur um "Eindeutigkeit oder nicht", sondern im letzteren Fall auch noch um die genaue Aufschlüsselung "gar keine oder unendlich viele" Lösungen geht, dann ist es effizienter, gleich den Gaußalgorithmus bis hin zur Dreiecksgestalt durchzuziehen - der kann man dann alles nötige rasch ablesen. |
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| 25.01.2018, 19:01 | Weiter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oke super danke. Find die Lösung von sixty-four zwar ein bisschen zeitintensiver aber dafür "narrensicherer" 
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| 25.01.2018, 19:04 | Weiter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also mit anderen Worten den Entwicklungssatz nach LaPlace oder? |
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| 25.01.2018, 19:06 | sixty-four | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist wohl wahr, aber wenn man nun mal so angefangen hat, ist es wiederum mehr Aufwand zusätzlich noch den Gauß-Algorithmus zu rechnen. |
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| 25.01.2018, 19:09 | sixty-four | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist egal, du kannst auch Sarrus benutzen. Aber der Entwicklungssatz ist wohl günstiger, wenn du vorher noch ein paar Elemente zu 0 machst. |
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| 25.01.2018, 19:13 | Weiter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ich fasse zusammen: Ich berechne die Determinante und erhalt hier eine quadratische Gleichung. Mit der Mitternachtsformel berechne ich p1 und p2. Die füge ich danach hintereinander ein und untersuche mit Hilfe von Sarrus die Unterdeterminanten und wenn alle Unterdeterminanten = 0 sind = Unendlich viele Lösungen und wenn eine oder mehr ungleich 0 = nicht lösbar. Ist ganz schön viel Rechenarbeit für 6 Punkte 
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| 25.01.2018, 19:25 | sixty-four | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Deine Zusammenfassung ist richtig. Was die Rechenarbeit betrifft, hat HAL9000 dir den Tip gegeben, beim nächsten Mal gleich mit Gauß zu beginnen. Wenn du dann links eine Zeile mit lauter Nullen erhältst und rechts steht keine 0 ist es nicht lösbar. Wenn rechts auch eine 0 steht, vergißt du die Zeile einfach und es gibt unendlich viele Lösungen. EDIT: Es ist auch einfacher nach einsetzen der Nullstellen mit Gauß zu rechnen. Ich glaube, so hat HAL9000 das auch gemeint. Ich hatte es zunächst so verstanden, dass due Gauß mit variablem p rechnest. Das geht natürlich auch. |
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| 25.01.2018, 19:50 | Weiter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja aber wenn ich gleich am Anfang nach Gauß umforme habe ich unter Umständen in jeder Reihe ein p. Aber solange ich eine untere Dreiecksmatrix habe für die det ist das egal oder wie? |
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| 25.01.2018, 19:57 | sixty-four | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Den Gauß mit variablem p habe ich dir mal berechnet. Da kannst du jetzt auch alles ablesen. Wenn du den Koeffizienten in der letzten Zeile 0 setzt, hast du genau deine quadratische Gleichung mit den Lösungen und . Die setzt du jetzt beide nacheinander rechts unten ein und bekommst einmal 5 und einmal 0. Damit weißt du, was Sache ist. |
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| 25.01.2018, 20:28 | Weiter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ahhhh oke nun ist alles klar. Super vielen Dank dir. Schönen Abend noch 
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