Beweis zur Ordnungsrelation

25.01.2018, 17:20	NicoBe	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis zur Ordnungsrelation Hi, Ich habe eine Aufgabe, zu welcher ich mir bereits einen Beweis überlegt habe, mit dem ich aber noch nicht zu 100% zufrieden bin. Hier die Aufgabe: Ich habe drei geordnete Mengen: $\begin{eqnarray} (M_{1}, \subseteq_{1}), (M_{2}, \subseteq_{2}) und (M_{1} X M_{2},\subseteq) \end{eqnarray}$ Die Relation $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ ist definiert mit: $\begin{eqnarray} (a,b) \subseteq (c,d) :<==> a \subseteq_{1} c \wedge b \subseteq_{2} d<br /> \end{eqnarray}$ Die Aufgabe lautet wie folgt: Zeige: Ist x das kleinste Element von $\begin{eqnarray} M_{1} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (M_{1}, \subseteq_{1}) \end{eqnarray}$ und y das kleinste Element von $\begin{eqnarray} M_{2} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (M_{2}, \subseteq_{2}) \end{eqnarray}$ , dann ist (x,y) das kleinste Element von $\begin{eqnarray} M_{1} X M_{2} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (M_{1} X M_{2},\subseteq) \end{eqnarray}$ . Mein Ansatz lautet wie folgt: Ich setze zuerst die Prämisse voraus, also: $\begin{eqnarray} \forall z \in M_{1} : x \in M_{1} \wedge z \subseteq_{1} x <br /> \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \forall w \in M_{2} : x \in M_{2} \wedge w \subseteq_{2} x <br /> \end{eqnarray}$ Zu zeigen: $\begin{eqnarray} \forall (t,u) \in M_{1} X M_{2} : (x,y) \in M_{1} X M_{2} \wedge (t,u) \subseteq (x,y) \end{eqnarray}$ das heißt nach Definition von $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \forall (t,u) \in M_{1} X M_{2}: t \subseteq_{1} x \wedge u \subseteq_{2} y \end{eqnarray}$ das heißt nach Definition des kartesischen Produktes: $\begin{eqnarray} \forall (t) \in M_{1}: t \subseteq_{1} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \forall (u) \in M_{2}: u \subseteq_{2} y \end{eqnarray}$ Damit sind die Aussagen mit den Voraussetzungen äquivalent und wahr, so zumindest die Idee. Ich weiß, ist nicht komplett formal korrekt, aber stimmt der Gedankengang eurer Meinung nach?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »