Beweis Irrationalität Wurzel 2 mit Primfaktorzerlegung

25.01.2018, 19:16

BlaueLampe

Beweis Irrationalität Wurzel 2 mit Primfaktorzerlegung

Meine Frage:
Hallo,ich habe Probleme mit dem Beweis der Irrationalität der Wurzel 2 mit der Primfaktorzerlegung!
Würde mich über Hilfe freuen
LG

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2}=\frac{a}{b} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2=\frac{a^2}{b^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2=\frac{(p1...pn)^2}{(q1...qn)^2} \end{eqnarray*}$ Primfaktorzerlegung
$\begin{eqnarray*} 2=\frac{(p1^2...pn^2)}{(q1^2...qn^2)} \end{eqnarray*}$ Bis hier hin ist mir alles klar!
$\begin{eqnarray*} 2=\frac{(p1*p1*....*pn*pn)}{(q1*q1*...*qn*qn)} \end{eqnarray*}$ An dieser Stelle soll nun der Widerspruch sein, da 2 eine Primzahl ist und daher nicht einzeln vorkommen kann? Ich verstehe einfach nicht, warum diese Gleichung ein Widerspruch ist!
Help unglücklich

26.01.2018, 09:18

klarsoweit

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RE: Beweis Irrationalität Wurzel 2 mit Primfaktorzerlegung
Dein Vorgehen ist meines Erachtens komplizierter als nötig.

Zitat:

Original von BlaueLampe
Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2}=\frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle wird üblicherweise verlangt, daß a und b teilerfremd sind. (Sonst könnte man noch kürzen.) Quadrieren und Multiplizieren führt zu a² = 2b² . Damit ist a² eine gerade Zahl, was nur möglich ist, wenn auch a gerade ist. Somit gibt es eine Zahl p mit a = 2*p . Vielleicht kannst du nun den Beweis weiterführen.

26.01.2018, 09:24

BlaueLampe

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Danke dir!
Diesen Beweis kenne ich schon und habe ihn glücklicherweise auch verstanden Augenzwinkern

Es ging jetzt speziell um den mit der Primfaktorzerlegung traurig

Da dieser klausurrelevant ist ... Vielleicht kannst du mir da ja trotzdem helfen.
smile

26.01.2018, 09:53

HAL 9000

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Wenn es denn unbedingt sein muss, einen komplizierteren Beweis einem einfacheren vorzuziehen: Von

Zitat:

Original von BlaueLampe
$\begin{eqnarray*} 2=\frac{(p1^2...pn^2)}{(q1^2...qn^2)} \end{eqnarray*}$

ausgehend folgt

$\begin{eqnarray*} 2\cdot q_1^2\cdot \ldots q_n^2 = p_1^2\cdot \ldots p_n^2 \end{eqnarray*}$ .

Betrachtet man die Primfaktorzerlegung der rechten Seite, so stellt man fest, dass jeder Primfaktor einen geradzahligen Exponenten aufweist (es ist nicht nur Exponent 2 möglich, denn u.U. sind einige der $\begin{eqnarray*} p_k \end{eqnarray*}$ einander gleich!).

Links hingegen hat der Primfaktor 2 einen ungeradzahligen Exponenten (dazu trägt der Vorfaktor 2 bei sowie ggfs. auch noch einer oder mehrere der $\begin{eqnarray*} q_k \end{eqnarray*}$ ).

Das widerspricht der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung, denn Primfaktor 2 muss laut dieser links wie rechts denselben Exponenten aufweisen.

P.S.: Willst du den Beweis so aufschreiben, dass die $\begin{eqnarray*} p_k \end{eqnarray*}$ untereinander sowie die $\begin{eqnarray*} q_k \end{eqnarray*}$ von vornherein verschieden angenommen werden, dann musst du ihnen schon im Ansatz einen Primzahlexponenten spendieren.

26.01.2018, 10:30

pupil

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} 2=\frac{p_1 \cdot p_1 \cdot ...\cdot p_m \cdot p_m}{q_1 \cdot q_1 \cdot ...\cdot q_n \cdot p_n} \end{eqnarray*}$

Kann man ab hier auch so argumentieren ?

1) Wenn ich zwei natürliche Zahlen dividiere und es kommt 2 heraus, dann muss die Zahl im Zähler zwingend gerade sein

2) Daher muss in jedem Fall der Faktor 2 in der Zerlegung des Zählers vorkommen, wegen des Quadrates demnach also sogar $\begin{eqnarray*} 2 \cdot 2 \end{eqnarray*}$

3) Damit kann ich die Gleichung durch 2 dividieren, wodurch links 1 steht

4) 1 als Ergebnis einer Division kann nur entstehen, wenn die Zahlen in Zähler und Nenner gleich sind

5) Das kann jedoch nicht sein, da ja nun auf der rechten Seite durch das Dividieren aus 3) ein Ungleichgewicht entstanden ist

6) Alternativ: Man kann den verbliebenen Faktor 2 im Zähler nicht mehr vollständig wegkürzen, wodurch Zähler und Nenner nie gleich sein können

26.01.2018, 10:39

HAL 9000

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Ich halte nichts davon, eine Erklärung unnötig verwickelt und undurchsichtig zu gestalten. Aber wenn das dein Stil ist, und du denjenigen, der diese Beweisführung zu beurteilen hat, davon überzeugen kannst - nur zu. Augenzwinkern

26.01.2018, 10:46

pupil

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Ich bin ein Schüler und möchte nur wissen, ob meine Begründungen in der geschilderten Reihenfolge schlüssig sind.
Wenn nicht, wäre es für mich interessant, wo ich genau fehlerhaft werde.
Mag jemand anderes dazu etwas sagen ?

26.01.2018, 11:04

HAL 9000

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Kritisch ist Punkt 5, da argumentierst du mit dem Begriff "Ungleichgewicht" ohne zu erläutern, was das hier eigentlich bedeuten soll - das meine ich mit undurchsichtig.

26.01.2018, 11:26

pupil

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Achso, es klang bei dir eher derart negativ, dass man denken kann da stünde kompletter Blödsinn.
Na wenn nur dieses eine Wort stören sollte, das ließe sich ja schnell beheben
Was ich meine, ist doch klar - oder ?
Durch die erwähnte Division durch 2, hat man im Zähler eine ungerade Anzahl an Faktoren und im Nenner eine gerade Anzahl an Faktoren. Zähler und Nenner können daher nie gleich werden.
So in Ordnung ?

26.01.2018, 12:30

BlaueLampe

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Danke HAL9000!
In einem Punkt kann ich dir noch nicht folgen!
Du sagtest, dass auf der rechten Seite jeder Primfaktor einen gradzahligen Exponenten hat--> jeder hoch 2!
aber auf der linken Seite, haben die Primfaktoren doch auch alle den Exponent 2 und demnach einen gradzahligen Exponenten!
verwirrt

wo ist da mein Denkfehler? Oder ist es nur auf die 2 bezogen --> 2^1 *( q1^2*..qn^2) und somit steht vor jedem Primfaktor durch das Ausmultiplizieren 2^1 mit einem ungradzahligen Exponenten?

Zitat:

Das widerspricht der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung, denn Primfaktor 2 muss laut dieser links wie rechts denselben Exponenten aufweisen.

Und diesen Satz verstehe ich noch nicht recht... Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung bedeutet doch, dass sich eine Zahl immer nur durch ein Produkt der Primzahlen darstellen lassen soll! Wie kommst du dann auf die Exponenten

26.01.2018, 13:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von BlaueLampe
aber auf der linken Seite, haben die Primfaktoren doch auch alle den Exponent 2 und demnach einen gradzahligen Exponenten! [...] Oder ist es nur auf die 2 bezogen

Habe ich das nicht klar und deutlich hervorgehoben?

Zitat:

Original von HAL 9000
Links hingegen hat der Primfaktor 2 einen ungeradzahligen Exponenten

Lies einfach mal gründlicher, dann kannst dir solchen "aber"-Quatsch sparen.

Zitat:

Original von BlaueLampe
Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung bedeutet doch, dass sich eine Zahl immer nur durch ein Produkt der Primzahlen darstellen lassen soll!
Wie kommst du dann auf die Exponenten

Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung heißt, dass es für gegebenes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ genau eine Darstellung

$\begin{eqnarray*} n = p_1^{s_1}\cdot p_2^{s_2}\cdot \ldots\cdot p_r^{s_r} \end{eqnarray*}$

mit Primzahlen $\begin{eqnarray*} 2\leq p_1 < p_2 < \ldots < p_r \end{eqnarray*}$ und positiven ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} s_1,\ldots,s_r \end{eqnarray*}$ gibt. Und die $\begin{eqnarray*} s_i \end{eqnarray*}$ sind das, was ich mit Exponenten der Primfaktorzerlegung meine.

Eine solche Eindeutigkeit lässt sich mit deinem einfachen Produktansatz ohne Exponenten, dafür aber mit möglicherweise gleichen Faktoren nur schwieriger formulieren.

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