Galoisgruppe bestimmen

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25.01.2018, 19:57	Chrissi1993	Auf diesen Beitrag antworten »
Galoisgruppe bestimmen Meine Frage: Nabend zusammen! Ich habe einen kleinen Hänger bei der folgenden Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} \alpha = \sqrt{2 +\sqrt{2} } \in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Zeige das die Körpererweiterung $\begin{eqnarray} \mathbb Q (\alpha )/\mathbb Q \end{eqnarray}$ Galoisch ist, berechne alle Zwischenkörper und bestimmt Galoisgruppe zu $\begin{eqnarray} \mathbb Q (\alpha )/\mathbb Q \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Dazu habe ich erstmal das Minpol zu Alpha bestimmt, dies ist ja $\begin{eqnarray} f = X^4 -4X^2 +2 \end{eqnarray}$ . Mittels Eisenstein und p=2 kann man folgern das f irreduzibel in Q ist und somit gilt $\begin{eqnarray} \left[ \mathbb Q(\alpha ): \mathbb Q \right] = 4 = deg(f) \end{eqnarray}$ . So wenn ich mir nun das Minpol f genauer anschaue, sehe ich das es wie folgt zerfällt: $\begin{eqnarray} f= X^4 -4X^2 +2 =( X^2 -\sqrt{2} -2)(X^2 +\sqrt{2} -2)= (X- \sqrt{2-\sqrt{2}})(X+ \sqrt{2-\sqrt{2}})(X- \sqrt{2+\sqrt{2}})(X+ \sqrt{2+\sqrt{2}}) \end{eqnarray}$ Nun da Alpha in Q(Alpha) ist, ist auch -Alpha drin und wenn man Alpha quadriert sieht man das auch $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \in \mathbb Q (\alpha) \end{eqnarray}$ gilt. Damit diese Körpererweiterung aber normal ist, müssen ja auch die beiden anderen Nullstellen $\begin{eqnarray} +- \beta =+- \sqrt{2-\sqrt{2} } \end{eqnarray}$ in Q(Alpha) sein, ich sehe nur nicht warum sie dadrin sein sollten, bzw. wie ich mittels Alpha und anderen Elementen aus Q(Alpha) das Beta erhalten kann ?!? Wenn diese aber im Erweiterungskörper wären, könnte man schnell zeigen das dieser aus separabel ist, da alle Nst verschieden sind und somit wäre die Erweiterung Galoisch und die Galoisgruppe wäre isomorph zur kleinen Vierergruppe aufgrund des Grades 4 und der darin enthaltenen Elementstruktur. Liege ich da soweit richtig oder sind noch Fehler in der Argumentation? Gruß Chrissi
25.01.2018, 22:22	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Was sagt die Bachelor-Arbeit dazu, die du studieren wolltest ?
26.01.2018, 11:34	chrissi1993	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldige, dort hätte vorab nachschauen sollen. Wenn ich das soweit richtig verstanden habe, kann ich dort schon aus der Darstellung des Minimalpolynoms folgern, dass die zugehörige Galoisgruppe isomorph zu der kleinschen Vierergruppe ist. Dies würde mir zeigen das ich mit meinen Annahmen schon richtig lag. Jedoch bezog sich meine Frage viel weniger darauf ob das Ergebnis richtig ist, als das mir viel wichtiger ist ob mein Weg richtig ist bzw. zu zeigen das alle Nullstellen des Minpols im Erweiterungskörper liegen, damit die Erweiterung als normal gilt? Deswegen nochmal die Frage ob jemand einen einfachen Weg sieht, um zu zeigen das alle Nullstellen von f in Q(Alpha) liegen ? (Dies müsste ja gelten damit Q(Alpha) normal und somit auch galoisch ist.) P.S.: Denn mein Ziel, auch hier wieder, ist es die Klausur mit möglichst einfachen und schnellen mitteln zu lösen. Ich darf weder die Sätze der BA in der Klausur benutzen, noch habe ich vor alle nötigen Beweise dafür zu lernen und zu zitieren.
26.01.2018, 12:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechne $\begin{eqnarray} \alpha\beta \end{eqnarray}$ Beachte aber auch, dass D(f) kein Quadrat ist, also ist die Galoisgruppe keine Untergruppe der A4, insbesondere nicht V4. (Es lohnt sich, so viel über Galoistheorie zu lernen, wie man kann.)
26.01.2018, 14:18	chrissi1993	Auf diesen Beitrag antworten »
Dies hatte ich tatsächlich schon berechnet, wusste nur nicht das es schon ausreicht. Also reicht es zu argumentieren, dass: $\begin{eqnarray} \alpha \beta =\sqrt{2} \end{eqnarray}$ und somit auch $\begin{eqnarray} \beta =\sqrt{2} \alpha^{-1} \end{eqnarray}$ und da wurzel 2 sowie inverses von Alpha im Körper sind, ist auch Beta im Körper ? Und du hast recht, ich hätte sogar noch einfacher mit Korollar 3.7 der BA zeigen können, das dort der zweite Fall erfüllt ist, sprich $\begin{eqnarray} b (a^2 -4b) = 2((-4)^2 -42)=16 =4^2 \in \mathbb (Q^)^2 \end{eqnarray}$ und somit gilt, dass die Galoisgruppe isomorph zu $\begin{eqnarray} \mathbb Z /4 \mathbb Z \end{eqnarray}$ . Danke für den Hinweis!
26.01.2018, 18:01	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es richtig, $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\alpha) \end{eqnarray}$ ist der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray} f=X^4-4X^2+2 \end{eqnarray}$ , also normal. Wie man jetzt ohne BA auf die Automorphismen kommt, weiß ich auch nicht ... Dummerweise hat der Automorphismus $\begin{eqnarray} \alpha\mapsto \beta \end{eqnarray}$ die Ordnung 2, wo kommt denn da die $\begin{eqnarray} C_4 \end{eqnarray}$ her ?
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26.01.2018, 18:55	experte	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, @Elvis: na das ist doch klar: die C4 hat ein element der Ordnung 1, ein element der Ordnung 2 (nämlich die Abbildung von alpha nach beta) und 2 der Ordnung 4. gruss ollie3
26.01.2018, 19:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn das jedem außer mir klar ist, wünsche ich mir einen Automorphismus der Ordnung 4 von chrissi1993.
28.01.2018, 11:05	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das folgende die gesuchte Galoisgruppe $\begin{eqnarray} \cong C_4 \end{eqnarray}$ ? $\begin{eqnarray} \alpha\mapsto \beta \mapsto -\alpha\mapsto -\beta\mapsto \alpha \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\alpha\mapsto -\beta \mapsto \alpha\mapsto \beta\mapsto -\alpha \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \beta\mapsto -\alpha \mapsto -\beta\mapsto \alpha\mapsto \beta \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\beta\mapsto \alpha \mapsto \beta\mapsto -\alpha\mapsto -\beta \end{eqnarray}$ Wenn das so ist, wie erschließt sich das im allgemeinen ohne großen Aufwand ? Gibt es leicht verständliche Algorithmen zur Berechnung der Galoisgruppen irreduzibler Polynome (über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ , über algebraischen Zahlkörpern, über beliebigen Körpern) ? Ich finde immer nur Beispiele, die mit mehr oder weniger großem Aufwand zu Teilergebnissen kommen.
28.01.2018, 16:32	chrissi1993	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid Elvis, mir ist dies auch nicht so klar, ich bin im Umgang mit Automorphismen noch sehr Vorsichtig, da ich diese im Zusammenhang mit Galoisgruppen auch noch nicht so ganz verstanden habe. Deshalb wäre ich auch sehr interessiert an so einem von dir beschriebenen Algorithmus, falls dieser existent seien sollte. Wobei mir auch schon eine vorgehensweise für Gruppen mit niedriger Ordnung reichen würde um dies erst einmal nachvollziehen zu können.
28.01.2018, 18:05	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe bei Siegfried Bosch ein ähnliches Beispiel gesehen, wo die $\begin{eqnarray} C_4 \end{eqnarray}$ genau so als Galoisgruppe realisiert wird. Wir wissen aus der BA, dass wir hier die $\begin{eqnarray} C_4 \end{eqnarray}$ haben wollen, also wird es wohl dieser Automorphismus der Ordnung 4 sein, den ich aufgeschrieben habe. Es scheint genügend Theorie zu geben, um zu einem irreduziblen Polynom über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ die Galoisgruppe des Zerfällungskörpers bestimmen zu können. Ich kenne keine Algorithmen, die die erzeugenden Automorphismen berechnen - sollte mich aber wundern, wenn es solche Algorithmen nicht gäbe ... mir fehlt offensichtlich "algorithmische Algebra".

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