Folgen, Konvergenz: Basics

26.01.2018, 10:42

ForeRunner

Folgen, Konvergenz: Basics

Meine Frage:
So hallo erstmal. Ich muss mich jetzt zum ersten mal wirklich mit Folgen auseinandersetzen und wollte mal fragen wie genau das funktioniert wenn man zeigen soll,
dass reelle Folgen gegen 0 Konvergieren.

Hierzu habe ich einige Beispielaufgaben:
(i) $\begin{eqnarray*} \frac{n}{n^2} \end{eqnarray*}$ , (ii) $\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{2^n} \end{eqnarray*}$ , (iii) $\begin{eqnarray*} \frac{2^n}{n!} \end{eqnarray*}$ , (iv) $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{n^n} \end{eqnarray*}$

Für alle soll gezeigt werden, dass sie gegen 0 konvergieren.

Meine Ideen:
Also hier ist mein Ansatz für die (i).

Da ich zeigen soll, dass die Folge gegen 0 konvergiert, steht das hier:

$\begin{eqnarray*} |\frac{n}{n^2}-0| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Nun habe ich das hier gefolgert:

$\begin{eqnarray*} |\frac{n}{n^2}-0| \leq \frac{n}{n^2} \leq \frac{1}{n} < \epsilon \end{eqnarray*}$

somit folgt: $\begin{eqnarray*} n_0 > \frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$

Das ist das was aus der Vorlesung Hängen geblieben ist, aber ob das hier bei dieser Aufgabe richtig ist weiß ich nicht.

zu (ii) habe ich nur das hier:

$\begin{eqnarray*} |\frac{n^2}{2^n}-0| \leq \frac{n^2}{2^n} \leq \frac{n}{2^n} \leq \frac{1}{2^n} .. \end{eqnarray*}$

aber wie das weiter geht weiß ich auch nicht so genau.

Kann mir da jemand weiterhelfen? Danke schon im Vorraus smile

26.01.2018, 10:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von ForeRunner
$\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{2^n} \leq \frac{n}{2^n} \leq \frac{1}{2^n} .. \end{eqnarray*}$

Für welche $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ soll diese (Doppel-)Ungleichung gelten? Setz mal ein paar Werte für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ein, und schau was rauskommt...

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Oftmals kann man solche Folgen durch geometrische Nullfolgen majorisieren, d.h., man findet ein $\begin{eqnarray*} q\in (0,1) \end{eqnarray*}$ sowie ein $\begin{eqnarray*} C>0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |a_n| \leq C\cdot q^n \end{eqnarray*}$ . Hinreichend dafür ist etwa, dass ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \leq q \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ .

Im vorliegenden Fall klappt dieses Vorgehen für alle drei Teilaufgaben (ii),(iii) und (iv).

Das klappt aber nicht immer, z.B. bei (i) nicht. Aber da hattest du ja sowieso schon eine andere passende Lösung.

26.01.2018, 11:53

ForeRunner

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Ah ja klar die doppelte Ungleichung ist so natürlich quatsch.

Hm wie genau würde das was du mir da gerade beschrieben hast für die (ii) zum Beispiel funktionieren?

Und ist das echt alles was ich bei der (i) zeigen muss?

26.01.2018, 12:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von ForeRunner
Und ist das echt alles was ich bei der (i) zeigen muss?

Wenn du die gemachten Betrachtungen in eine passende Formulierung bringst, d.h., sinngemäß ungefähr so

Zitat:

Wählt man $\begin{eqnarray*} n_0>\frac{1}{\varepsilon} \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} \left| \frac{n}{n^2}-0 \right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ erfüllt. Damit konvergiert die Folge $\begin{eqnarray*} \frac{n}{n^2} \end{eqnarray*}$ gemäß $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Definition des Grenzwertes gegen 0.

dann ist das ausreichend, ja.

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