Regeln von de l' Hospital

26.01.2018, 13:33

Snexx_Math

Regeln von de l' Hospital

Hallo zusammen,

wir hatten heute in der Vorlesung die Regeln von de l' Hospital . Iwie habe ich die aber nur mäßig verstanden.

Meine Frage:

Was für Vorraussetzungen muss ich zeigen , bevor ich die Regeln anwenden, also Zähler und Nenner getrennt ableiten und dann durcheinander teilen, darf ???

Ich leg aber mal offen , was ich zurzeit denke:

Voraussetzungen die ich zeigen sollte, sind wie ich meine:

- $\begin{eqnarray*} f,g: ]a,b[ \rightarrow \mathbb R\ \ \ \ differenzierbar \end{eqnarray*}$ (ich denke man kann das auch einfach annehmen, wenn man die Funktionen schon kennt, bzw. der Grenzwert existieren soll)
- es gelte: $\begin{eqnarray*} g'(x)\neq 0 \ \ \ \ \ \forall x \in ]a,b[ \end{eqnarray*}$
- $\begin{eqnarray*} \lim_{ x \to y } \frac{f'(x)}{g'(x)} = c \in\mathbb R \end{eqnarray*}$ existiert

Dann gilt nach den Regeln:
Es gibt ja zwei Fälle:
1) $\begin{eqnarray*} \lim_{ x \to y } \frac{f(x)}{g(x)} \end{eqnarray*}$ mit y ein beliebiger Wert (auch $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ )
und es gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{ x \to y } f(x)=\lim_{ x \to y } g(x)=0 \Rightarrow \lim_{ x \to y } \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{ x \to y } \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} \lim_{ x \to y } \frac{f(x)}{g(x)} \end{eqnarray*}$ mit y ein beliebiger Wert (auch $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ )
und es gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{ x \to y } g(x)=+-\infty \Rightarrow \lim_{ x \to y } \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{ x \to y } \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$

26.01.2018, 13:45

adiutor62

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RE: Regeln von de l' Hospital
https://www.mathebibel.de/regel-von-lhospital

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3...on_L%27Hospital

26.01.2018, 13:54

klarsoweit

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RE: Regeln von de l' Hospital

Zitat:

Original von Snexx_Math
2) $\begin{eqnarray*} \lim_{ x \to y } \frac{f(x)}{g(x)} \end{eqnarray*}$ mit y ein beliebiger Wert (auch $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ )
und es gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{ x \to y } g(x)=+-\infty \Rightarrow \lim_{ x \to y } \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{ x \to y } \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$

Ergänzend: $\begin{eqnarray*} \lim_{ x \to y } f(x) = \lim_{ x \to y } g(x) =\pm \infty \Rightarrow ... \end{eqnarray*}$

26.01.2018, 14:01

Snexx_Math

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RE: Regeln von de l' Hospital
Wir hatten uns mit der Professorin nochmal unterhalten und sie meinte, dass der Limes von f(x) nicht zwingen ebenfalls gegen $\begin{eqnarray*} +-\infty \end{eqnarray*}$ gehen muss.

Was ist denn nun richtig ? verwirrt

26.01.2018, 15:43

Alohomora

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RE: Regeln von de l' Hospital
Ja, das stimmt, aber wo liegt jetz das Problem?

26.01.2018, 20:10

sibelius84

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Weitere Ergänzung, eventuell / hoffentlich hilfreich. Augenzwinkern

27.01.2018, 14:14

Snexx_Math

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Ich versuch mal die geposteten Aufgaben zu lösen:

$\begin{eqnarray*} a)\lim_{x \to \infty } \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to \infty } \frac{x+sinxcosx}{f(x)\cdot e^{sinx}} = \lim_{x \to \infty } \frac{x+sinxcosx}{x+sinxcosx \cdot e^{sinx}} = \lim_{x \to \infty } \frac{1}{ e^{sinx}} \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } sinx \end{eqnarray*}$ nicht existiert, weil sinx eine periodisch schwankende Funktion ist (leider keine Ahnung wie man das mathematisch aufschreiben würde).

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{x \to \infty } \frac{1}{ e^{sinx}} \end{eqnarray*}$ existiert nicht, da dieser Grenzwert dann auch nicht existiert.

b)
Hier habe ich nicht einen blassen Schimmer ... unglücklich

Ich könnte nur sagen, dass der Summand "x" im Nenner ja immer größer wird für $\begin{eqnarray*} x \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ und somit der Bruch immer kleiner, da alle anderen Werte periodisch schwanken und ein Bruch der gegen 0 geht mal einen periodisch schwankeneden aber jeweils festen Wert ergibt 0.

c)

27.01.2018, 19:50

sibelius84

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Bei b) hast du im Prinzip schon richtig argumentiert, formal sähe das so aus:

(Da wir $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ laufen lassen wollen, dürfen wir oBdA $\begin{eqnarray*} x\geq 4 \end{eqnarray*}$ annehmen, so dass der Nenner immer definiert ist.)

$\begin{eqnarray*} \left\lvert\frac{2\cos(x)}{x+\sin(x)\cos(x)+2\cos(x)}e^{-\sin(x)}\right\rvert \leq \left\lvert\frac{2\cdot 1}{x-1-2}e^1 \right\rvert = \frac{2e}{x-3} \stackrel{x\to\infty}\longrightarrow 0 \end{eqnarray*}$ .

Dabei haben wir benutzt, dass |sin x|, |cos x| <= 1, und dass die e-Funktion streng monoton steigend ist.

Für c) schau mal hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_...se_Formulierung

Da steht in der zweiten Zeile direkt am Anfang eine Bedingung, die in der hier vorliegenden Aufgabe verletzt ist - egal übrigens, wie man das Intervall I auch wählt; es muss immer eine Umgebung von Unendlich (also insbesondere ein nach rechts unbeschränktes reelles Intervall) enthalten, so dass immer die Bedingung verletzt ist.

LG
sibelius84

28.01.2018, 13:19

Snexx_Math

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Danke erstmal.

Freut mich, das die b) wenigstens vom Gedankengang richtig war.

Verstehe auch den mathematischen Beweis. Habe nur zwei Nachfragen:

1. Wieso darf man Beträge um den ganzen Term setzen ? Bzw. warum macht man das überhaupt ?

2. Warum wird $\begin{eqnarray*} \sin(x)\cos(x) \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ ? Wir hatten doch gesagt $\begin{eqnarray*} |\cos(x)| \wedge |\sin(x)| \leq 1 \end{eqnarray*}$ . Also genauer warum steht $\begin{eqnarray*} x-1-2 \end{eqnarray*}$ nach dem ersten gleich statt $\begin{eqnarray*} x+1+2 \end{eqnarray*}$ im Nenner ?

Und wie stets um die a) war die richtig ?

LG Snexx_Math

28.01.2018, 13:37

sibelius84

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Zitat:

Original von Snexx_Math
1. Wieso darf man Beträge um den ganzen Term setzen ? Bzw. warum macht man das überhaupt ?

Weil $\begin{eqnarray*} f(x)\stackrel{x\to a}\longrightarrow L \end{eqnarray*}$ äquivalent ist mit $\begin{eqnarray*} f(x)-L\stackrel{x\to a}\longrightarrow 0 \end{eqnarray*}$ und dies wiederum äquivalent ist mit $\begin{eqnarray*} \lvert f(x)-L\rvert\stackrel{x\to a}\longrightarrow 0 \end{eqnarray*}$ (Stetigkeit der Betragsfunktion), und man dann eben gewinnbringend anwenden kann, dass |sin x|, |cos x| <= 1, usw.

(Es dürfte sogar die Konvergenz so definiert sein: Sei f eine Funktion und L eine reelle Zahl, dann konvergiert f gegen L für x gegen a genau dann, wenn
$\begin{eqnarray*} \forall\varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall x\in \mathbb D_f: \quad \lvert x-a \rvert < \delta \quad \Rightarrow \quad \lvert f(x) -L\vert < \varepsilon \end{eqnarray*}$ .)

Zitat:

2. Warum wird $\begin{eqnarray*} \sin(x)\cos(x) \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ ? Wir hatten doch gesagt $\begin{eqnarray*} |\cos(x)| \wedge |\sin(x)| \leq 1 \end{eqnarray*}$ . Also genauer warum steht $\begin{eqnarray*} x-1-2 \end{eqnarray*}$ nach dem ersten gleich statt $\begin{eqnarray*} x+1+2 \end{eqnarray*}$ im Nenner ?

Beim Abschätzen gilt immer das Prinzip "kleinerer Nenner, größere Zahl" (und natürlich - trivialerweise und schon an den Wörtern zu erkennen -: "größerer Zähler, größere Zahl"). Man macht ja immer eine worst-case-Geschichte: Wie groß kann der Zähler, und wie klein kann der Nenner schlimmstenfalls werden?

Beispiel: Schätze ab: $\begin{eqnarray*} \frac{47+15\cos(x)}{11+0,8\sin(x)} \end{eqnarray*}$ .

Lösung:

$\begin{eqnarray*} \frac{47+15\cos(x)}{11+0,8\sin(x)} \leq \frac{47+15}{11+0,8\sin(x)} = \frac{62}{11+0,8\sin(x)} \leq \frac{62}{11-0,8} = \frac{62}{10,2}=\frac{310}{51} \end{eqnarray*}$ .

Cosinus und Sinus bewegen sich immer zwischen -1 und 1. Der Zähler kann also schlimmstenfalls 47+15 = 62 werden. Und der Nenner kann schlimmstenfalls 11-0,8 = 10,2 werden. Diese beiden Dinge sind die schlimmsten Dinge, die im Hinblick auf die Größe der Zahl auf der rechten Seite passieren können. Das bedeutet umgekehrt aber auch: Schlimmer kann es nicht mehr werden und wir haben Gewissheit - also genau das, was wir in der Mathematik brauchen. Augenzwinkern

Zitat:

Und wie stets um die a) war die richtig ?

Jap, sah gut aus. smile

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