Minimalpolynom bestimmen

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Chrissi1993 Auf diesen Beitrag antworten »
Minimalpolynom bestimmen
Meine Frage:
Hallo zusammen!

Ich habe folgendes Problem, bei dem ich gerne eure Hilfe in Anspruch nehmen würde:

Zeige: ist galoissch für n>=2 über Q und bestimme die Galoisschgruppe(K/Q).


Meine Ideen:
Ich weiß schonmal das gilt und somit ist der cosinus der Realteil der n-ten Einheitswurzeln

Nun wollte ich weiter vorgehen indem ich das Minimalpolynom zum adjungierten Element bestimme, um dann Normalität und separabilität zeigen zu können.
Aber wie kann ich das Minimalpolynom zu bestimmen ?
Gibt es sowas wie ein n-tes Kreisteilungspoylnom und würde mir das weiterhelfen?
Habe auch sowas probiert wie und komm dann mit den Additionstheoremen auch zu solcher Form:, jedoch bringt mich das nicht wirklich weiter...

Freue mich über jede Unterstützung!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Minimalpolynom bestimmen
Ich habe keine Ahnung von Galoistheorie, aber es gibt ein Additionstheorem was dir hier hilft:
Wiki
.

Siehe .
 
 
chrissi1993 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme leider mit deinem Tipp auch nicht weiter , bzw. sehe ich nicht wie dieser mir helfen kann das Minpol zu bestimmen, würdest du eventuell genauer beschreiben können worauf du hinaus willst?


Weitere Erkenntnisse die ich bisher habe sind:



und somit sind die n-ten Einheitswurzeln auch auszudrücken als:



und somit gilt auch:



jedoch komme ich immernoch nicht auf das Minpol...
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

man kann zeigen, dass die durch auf [-1,1] definierten Funktionen Polynome sind, die sogenannten Tschebyscheff-Polynome. Damit ist auch ein Polynom und zwar sogar ein solches, das als Nullstelle hat, also ein Vielfaches des Minimalpolynoms. Ob es das sogar selber schon ist? Weitere Nullstellen sind .

LG
sibelius84
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Minimalpolynom bestimmen
Laut Wikipedia gilt:
.

Setzen wir so, steht dort
.

Mit Pythagoras also
.

Setzt man nun steht dort ein Polynom.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Das dürfte sogar genau das Tschebyscheff-Polynom sein, denn

.

Wenn man dies nun mit dem binomischen Lehrsatz explizit auflöst und die Realteile vergleicht, ergibt dies eine Formel für , was dasselbe ist wie , also hat man genau das n-te Tschebyscheffpolynom (mit als Argument). Insbesondere haben "beide" Polynome den Grad n. Evtl. trotzdem netter, so eine explizite Darstellung da stehen zu haben.

Drei Überlegungen:

-> Für kleine n könnte man die Minimalpolynome von per Hand ermitteln und so zu einer allgemeinen Vermutung gelangen, die man dann beweisen könnte, per Induktion oder sonstwie. Insbesondere interessant: Wird der Grad irgendwann <n, oder ist tatsächlich schon das n-te Tschebyscheff-Polynom das Minimalpolynom von ?

-> hat ja als Minimalpolynom das n-te Kreisteilungspolynom, das vom Grad ist, wobei die Euler'sche phi-Funktion bezeichnet. Kann man damit irgendwas machen?

-> Evtl. führt der Threadtitel in die falsche Richtung? Wir sollen ja "nur" zeigen, dass die gegebene Körpererweiterung galois'sch ist, und die Galois-Gruppe bestimmen. Nach dem Minimalpolynom ist nicht explizit gefragt. Kann man da drumherumkommen?
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