Anwendung der Kettenregel

27.01.2018, 10:02

Unterflieger

Anwendung der Kettenregel

Guten Morgen liebes Forum,

ich verstehe leider folgende Ableitung nicht und ich hoffe, ihr könnt mir unter die Arme greifen.

$\begin{eqnarray*} p= u (x(y)) - c(y) \end{eqnarray*}$

Diese Funktion soll nach y abgeleitet werden. Man erhält:

$\begin{eqnarray*} \frac{dp}{dy}= \frac{du}{dx}- \frac{dc}{dy} \end{eqnarray*}$

Mir ist klar, dass man die Kettenregel braucht um "u" abzuleiten. Leider ist es mir unbegreiflich, wieso im Nenner "dx" steht, wenn man doch nach "y" ableitet?! verwirrt

Viele Grüße und schönes Wochenende,

der Unterflieger

27.01.2018, 10:18

Huggy

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RE: Anwendung der Kettenregel

Zitat:

Original von Unterflieger
$\begin{eqnarray*} p= u (x(y)) - c(y) \end{eqnarray*}$

Diese Funktion soll nach y abgeleitet werden. Man erhält:

$\begin{eqnarray*} \frac{dp}{dy}= \frac{du}{dx}- \frac{dc}{dy} \end{eqnarray*}$

Das ist nicht korrekt. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{dp}{dy}= \frac{du}{dx}\frac {dx}{dy}- \frac{dc}{dy} \end{eqnarray*}$

Dann sieht man auch die Anwendung der Kettenregel.

27.01.2018, 11:08

Unterflieger

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Ah, okay! Ich glaube, ich komme der Sache etwas näher, vielen Dank!
Aber mir ist immer noch nicht klar wieso im Nenner "dx" steht. Kennst du vielleicht ein simples Zahlenbeispiel an dem man das erkennen kann, weshalb das so ist?

27.01.2018, 12:37

Huggy

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Das ist doch der Kern der Kettenregel. Wenn $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ eine Funktion $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ eine Funktion von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , dann bildet man die Ableitung von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , indem man $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ableitet und das mit der Ableitung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ multipliziert:

$\begin{eqnarray*} \frac {du}{dy}=\frac {du}{dx} \frac {dx}{dy} \end{eqnarray*}$

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} u=x^2 \quad x=\sin y \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} u=\sin^2 y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {du}{dx}=2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {dx}{dy}= \cos y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {du}{dy}=2x \cos y =2 \sin y \cos y \end{eqnarray*}$

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