Satz von Gauß(integral)

27.01.2018, 13:14

Mesut95

Satz von Gauß(integral)

Hallo alle zusammen. Ich habe hier folgende Aufgabe und die Lösung dazu.
Was ich jetzt nicht so verstehe:
Ich muss ja jetzt einmal das Integral von der divergenz berechnen. ( das ist klar)
Und einmal den oberflächenintegral 2 Art.
Das oberflächenintegral 2 Art wird doch nicht so berechnet wie es in der Lösing steht sondern vom skalarprodukt von V(gamma) und die ableitung von gamma. Bin echt verwirrt

27.01.2018, 19:11

Mesut95

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RE: Satz von Gauß(integral)
Kennst sich vllt jemand aus ? verwirrt

27.01.2018, 19:17

sibelius84

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Hallo Mesut,

ich kenne mich zwar nicht aus, aber ich fuchse mich mal rein Augenzwinkern

In der Lösung steht doch gerade $\begin{eqnarray*} \int_{\partial\Omega}\; \langle \mathbf V (\gamma(t)),\dot\gamma(t)\rangle\, dt \end{eqnarray*}$ . Das ist doch genau

Zitat:

sondern vom skalarprodukt von V(gamma) und die ableitung von gamma.

,

oder?

LG
sibelius84

27.01.2018, 19:30

Mesut95

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Oh Hallo Sibelius freut mich das du wieder mal Antwortest smile

Also ich versuche mich mao Präziser auszudrücken.
Also im ersten bild sehen wir den integralsatz von Gauß.
Die Rechte seite ist gerade der Oberflächenintegral der zweiten art und im zweiten Bild sieht man die Formel für den Oberflächenintegral der zweiten Art.
Es wundert mich halt das in der Lösung nicht die Formel angewendet wird verwirrt

27.01.2018, 19:57

sibelius84

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Die Formeln, die du jetzt abgedruckt hast, gelten für den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ . Deine Aufgabe bezieht sich auf den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ . Da musst du von vorne anfangen und dir überlegen, was Divergenz, Volumenelement, $\begin{eqnarray*} d\sigma \end{eqnarray*}$ etc. bedeuten. Insbesondere ist das Randintegral kein Flächen-, sondern ein Kurvenintegral, und man kann bzw. muss kein Kreuzprodukt bilden.

27.01.2018, 20:17

Mesut95

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Oh man da bin ich ja ganz aufm falschen weg gelandet unglücklich

Ich danke dir das du mir die Augen geöffnet hast mein bester Prost

27.01.2018, 20:20

Mesut95

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Ach wie kommt man hier eigentlich auf die parameterisierung ? verwirrt

27.01.2018, 21:44

Mesut95

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und Sibelius wie kriege ich die unter und Obergrenze raus ?

27.01.2018, 22:05

sibelius84

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Ein mathematisch positiver Kreis (=linksrum) mit Radius r um den Punkt (x_0,y_0) wird gemeinhin parametrisiert durch

$\begin{eqnarray*} \gamma\colon[0,2\pi]\longrightarrow\mathbb R^2,\quad\gamma(t):=\begin{pmatrix} x_0 + r\cos(t) \\ y_0 + r\sin(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

27.01.2018, 22:17

Mesut95

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Ja ich habe ja jetzt die Param. : $\begin{eqnarray*} \gamma(t)=\sqrt{2} \begin{pmatrix} cos(t)\\ sin(t) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wegen dem positiven Kreis.
Jetzt muss ich das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! <V(\gamma(t)),\gamma'(t)> \, dt \end{eqnarray*}$

das Integral löse ich schon einfach nur habe ich manchmal Probleme mit der Ober und untergrenze ..
kannst du mir vllt ein tipp geben für die klausur wegen der unter und obergrenze

28.01.2018, 00:12

Mesut95

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Muss unser radius eigentlich nicht 2 sein verwirrt

28.01.2018, 13:43

sibelius84

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Ja, r=2. Die Wurzel einfach weglassen. smile

Ich gebe dir gerne einen Tipp für vor, während und nach der Klausur (Mathematik ist zeitlos!):

Zitat:

Original von sibelius84
Ein mathematisch positiver Kreis (=linksrum) mit Radius r um den Punkt (x_0,y_0) wird gemeinhin parametrisiert durch

$\begin{eqnarray*} \gamma\colon[0,2\pi]\longrightarrow\mathbb R^2,\quad\gamma(t):=\begin{pmatrix} x_0 + r\cos(t) \\ y_0 + r\sin(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Man muss die gängigen Parametrisierungen mit ihren Parameterbereichen kennen, oder Testeinsetzungen vornehmen. Bei einem Kreis ist der Parameterbereich (und damit auch der Integrationsbereich) immer $\begin{eqnarray*} [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ .

28.01.2018, 13:56

Mesut95

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ja danke

sich mit Mathematik zu beschäftigen tut echt gut, da vergisst man so schön die Probleme Freude

Zur Aufgabe: In der Lösung haben die für den Radius r= sqrt(2) genommen also habe ich das auch getan verwirrt

28.01.2018, 14:11

sibelius84

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Du Lemming Big Laugh

Also, in der Aufgabe steht ganz klar Radius 2, wegen $\begin{eqnarray*} \partial\Omega=\{x\in\mathbb R^2 \,\vert\,\lVert x \rVert = \sqrt{x_1^2+x_2^2} = 2\} \end{eqnarray*}$ . Ich denke, dass sich der Ersteller der Lösung vertan hat; so, wie er verfahren ist, würde man nämlich verfahren, wenn da

$\begin{eqnarray*} \partial\Omega=\{x\in\mathbb R^2 \,\vert\,x_1^2+x_2^2 = 2\} \end{eqnarray*}$ stünde. Da ja $\begin{eqnarray*} r=\sqrt{x_1^2+x_2^2} \end{eqnarray*}$ , wäre in diesem Fall tatsächlich $\begin{eqnarray*} r=\sqrt 2 \end{eqnarray*}$ .

28.01.2018, 14:18

Mesut95

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haha Lemming Big Laugh

Okay die Aufgabe ist eigentlich nun kein Problem mehr in beiden fällen kommt null.
Ich hätte eine andere Aufgabe diese ist irgendwie schwieriger unglücklich

Ich poste diese nun in einem anderen Beitrag wäre cool wenn du mal drüber schauen könntest smile

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