Isomorphie

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Andreas500 Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphie
Hallo, es geht um folgenden Isomorphismus zwischen Gruppen:

Dabei gilt folgendes:
G soll dabei eine endliche zyklische Gruppe sein.





Kann mir jmd vllt ein Beispiel dazu geben:

Sagen wir wir haben
Dann habe ich die Restklassen 0 bis 2. Bilde ich dann z.b mit meiner Abbildung die Restklasse 2 auf a^2 ab?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, was sonst. , also , , .
 
 
Andreas500 Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Gruppe wäre dann konkret isomorph zu meiner Restklassengruppe modulo 3?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Jede zyklische Gruppe der Ordnung 3. Bis auf Isomorphie gibt es nur eine, nämlich . Wenn du ein Beispiel aus der Geometrie suchst, nimm die Drehungen um den Winkel . Wenn du Permutationen suchst, nimm
Andreas500 Auf diesen Beitrag antworten »

Aha ok smile
Warum ist es egtl möglich eine Restklasse auf das entsprechende Element in der Gruppe abzubilden?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist deswegen so, weil . Das heißt, die additive Gruppe des Restklassenrings der ganzen rationalen Zahlen modulo m ist eine, also bis auf Isomorphie die einzige, zyklische Gruppe der Ordnung m. Alle zyklischen Gruppen der Ordnung m sind isomorph, d.h. es gibt eine solche Abbildung.
Andreas500 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
ist eine, also bis auf Isomorphie die einzige, zyklische Gruppe der Ordnung m. .


Heißt das, dass jede Restklassengruppe zyklisch ist?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Additiv, ja. Das ist der Prototyp der zyklischen Gruppe. Mit anderen Worten : das ist die zyklische Gruppe. Wir reden hier von ganz bestimmten Restklassengrupen in ganzen Zahlen !
Andreas500 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok gut smile
Aber wenn die Restklassengruppe additiv eine zyklische Gruppe ist, wieso braucht man dann diese Isomorphie?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Restklassengruppen sind bestens erforscht und haben viele Anwendungen in Algebra und Zahlentheorie. Alles was man über sie weiß, kann man auf viele interessante zyklische und abelsche Gruppen übertragen. Dazu dient der Isomorphismus als Werkzeug der Informationsübertragung.
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