Aufgabe zum Satz von Taylor

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GrafSeeger Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zum Satz von Taylor
Meine Frage:
Hallihallo,

Ich hab ein Problem mit folgender Aufgabe :

Sei f : R -> R zweimal differenzierbar und f, f'' seien beschränkt. Beweisen Sie, dass dann auch f' beschränkt ist.
Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Taylor.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen !

Meine Ideen:
Ideen fehlen mir leider, da ich nicht weiß wo ich anfangen soll...
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo GrafSeeger,

ich bin nicht 100pro sicher, aber ich glaube, es wäre eine gute Idee, sich den Satz von Taylor für n=1 anzuschauen:

.

Evt. könntest du aus der Annahme der Unbeschränktheit von f' mit der Beschränktheit von f die Unbeschränktheit von f'' folgern und so einen Widerspruch zur Behauptung erhalten?

(Vielleicht sind andere Restgliedformeln hier sinniger als das Integralrestglied?)

Grüße,
sibelius84
 
 
GrafSeeger Auf diesen Beitrag antworten »

Hi sibelus,

Laut Aufgabenstellung soll ich aber beweisen, dass f' auch beschränkt ist ^^,
oder meinst du ich sollte es mit einem Wiederspruchbeweis versuchen ?

Grüße Tom
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja! Freude
GrafSeeger Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie genau soll ich da anfangen ? ^^
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Probiere ein wenig herum. Es reizt, nach f'(a) umzuformen. Dafür müsste man aber durch (x-a) dividieren. Der Term 1/(x-a) stört allerdings beim (Integral-)Restglied. Daher schreibe dir das mal mit unterschiedlichen Restgliedformen (Lagrange, Schlömilch, ...) auf. Setze voraus, dass f beschränkt ist, und versuche auf die Unbeschränktheit von f'' zu schlließen. Falls das nicht hinhaut, umgekehrt.

(Eine weitere Überlegung wäre, sich den Satz von Taylor für andere Funktionen als f bzw. für andere Zahlen als n=1 aufzuschreiben und zu schauen, ob man damit irgendetwas anstellen kann. Halte ich aber tendenziell für wenig aussichtsreich, denn für n=2 bzw. für die Funktion f' und n=1 träte die dritte Ableitung in der Gleichung auf und über die haben wir vorliegend ja leider kaum Informationen.)
GrafSeeger Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben jedoch bisher nur den Satz von Taylor und sonst keine Restgliedformeln kennen gelernt... :/
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