Geometrische Vielfachheit = algebraischer Vielfachheit bei symmetrischen Matrizen zeigen |
| 28.01.2018, 02:30 | HansFinanz | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Geometrische Vielfachheit = algebraischer Vielfachheit bei symmetrischen Matrizen zeigen Ich möchte zeigen, dass eine reelle, symmetrische Matrix A diagonalisierbar ist. Dafür will ich zeigen, dass 1) Eigenvektoren u und v aus verschiedenen Eigenräumen orthogonal sind, 2) sich u und v des gleichen Eigenraums orthogonaliseren lassen mit Gram Schmidt (Warum funktioniert dieses Verfahren eigentlich?)und 3) (hier hänge ich besonders) dass bei symmetrischen Matrizen die geometrische mit der algebraischen Vielfachheit eines Eigenwerts lamda übereinstimmt. Ich verstehe nicht, warum 3) allgemein gelten soll. Meine Ideen: Ich verstehe, warum eine hermitesche n kreuz n Matrix, n reelle Eigenwerte haben muss, (wegen des Fundamentalsatzes der Algebra zerfällt chi von A in n Linearfaktoren). Weil das Skalarprodukt <Ax,x>=<x,A^T x> sesquilinear ist, folgt das ein lamda reell sein muss. Aus dem Skalarprodukt kann ich zudem 1) folgern, aber zu 3) finde ich nichts. |
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| 28.01.2018, 11:29 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Unter www.physik.uni-muenchen.de habe ich eine hübsch bunte Darstellug gefunden: 16-L7_2-vor-Matrizen-V-Diagonalisieren-Symmetrisch-Hermitesch.pdf 1) wird in Satz 2 bewiesen 2) Gram-Schmidt ist ein Algorithmus, der eine beliebige Basis eines UVR in einem Vektorraum mit Skalarprodukt orthogonalisiert 3) wird in Satz 3 bewiesen |
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