Majorisierte Konvergenz- Lösung verstehen

28.01.2018, 13:56

Larissa....

Majorisierte Konvergenz- Lösung verstehen

Hallo,

ich versuche mich an den Satz über die maorisierte Konvergenz ranzutasten.

Berechnen Sie

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \int_{1}^{\infty } \! \frac{\sqrt{x} }{1+nx^{3} } \, dx \end{eqnarray*}$

Quelle: //www2.mathematik.hu-berlin.de/~geomanal/teaching/bruening/analysis3_WS0809/Loesung_uebklausur.pdf

Als Lösung wird angegeben:

$\begin{eqnarray*} f_{n}(x) :=\frac{\sqrt{x} }{1+nx^{3} } \end{eqnarray*}$

konvergiert Punktweise gegen 0.

Frage 1: Woran erkennt man das? Weil n im Nenner steht und gegen unendlich läuft und je Größer es wird der ganzer Ausdruck sich 0 nährt? Oder liegt es an etwas anderes?

und kann durch

$\begin{eqnarray*} g \in L^{1} \left(\left[1,\infty \right) \right), g(x) := x^{-\frac{5}{2} } \end{eqnarray*}$ majorisiert werden.

Frage 2... wie kommt man auf dieses g(x)? Ich habe versucht es durch diese Seite zu verstehen: //de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Der_Satz_%C3%BCber_majorisierte_Konvergenz aber nicht ganz verstanden.

28.01.2018, 20:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von Larissa....
Frage 1: Woran erkennt man das? Weil n im Nenner steht und gegen unendlich läuft und je Größer es wird der ganzer Ausdruck sich 0 nährt?

Ja, so stimmt das: Man kann ja schlicht den Nenner abschätzen gemäß $\begin{eqnarray*} 1+nx^3\geq 1+n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\geq 1 \end{eqnarray*}$ , und das läuft gegen unendlich.

Zitat:

Original von Larissa....
$\begin{eqnarray*} g(x) := x^{-\frac{5}{2}} \end{eqnarray*}$
Frage 2... wie kommt man auf dieses g(x)?

Indem man in absolut naheliegender Weise abschätzt

$\begin{eqnarray*} f_n(x) = \frac{\sqrt{x}}{1+nx^3} < \frac{\sqrt{x}}{nx^3} = \frac{1}{n} x^{-\frac{5}{2}} \leq x^{-\frac{5}{2}} \end{eqnarray*}$ ,

Gleichheit bei letzterem $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ gilt nur für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ .

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