Isomorphismus bestimmen

28.01.2018, 18:15

forbin

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Isomorphismus bestimmen

Hallo zusammen,

ich habe die beiden Mengen $\begin{eqnarray*} A:=\Big\{\begin{pmatrix} 1 \\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\9 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\10 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 4 \\9 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 4 \\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 6 \\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 6 \\9 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 8 \\4 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 8 \\7 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 9 \\5 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 9 \\6 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 5 \\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 7 \\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 10 \\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\0 \end{pmatrix}\Big\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=\mathbb Z/2\mathbb Z \times \mathbb Z/8\mathbb Z=\Big\{\begin{pmatrix} 0 \\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\4 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\5 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\6 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\7 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\4 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\5 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\6 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\7 \end{pmatrix}\Big\} \end{eqnarray*}$ .

Nun soll ich zeigen dass diese isomorph sind.
Also ist ein bijektiver Homomorphismus zu finden.
Gut, Bijektivität sollte nicht das Problem sein, da beide Mengen 16 Elemente haben.
Aber wie kann ich so ohne weiteres einen Homomorphimus, also eine lineare Abbildung angeben? verwirrt

verwirrt

Das Thema hat mir schon immer Schwierigkeiten bereitet.

28.01.2018, 18:19

Elvis

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So geht das nicht. Mengen sind nicht isomorph, denn Mengen haben keine Struktur. Bevor du einen Isomorphismus suchen kannst, musst du die Mengen mit einer algebraischen Struktur versehen (z.B. Gruppe oder Vektorraum oder was ?)

28.01.2018, 18:22

forbin

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Die Menge A ist eine elliptische Kurve: $\begin{eqnarray*} y^{2} = x^{3}+x+2 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{11} \end{eqnarray*}$ .

Also suche ich doch einen Homomorphismus:
$\begin{eqnarray*} \phi : (E,+) \rightarrow (\mathbb Z/2\mathbb Z \times \mathbb Z/8\mathbb Z,+) \end{eqnarray*}$ , oder?

28.01.2018, 18:27

Elvis

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Dazu brauchst du nur die Gruppenstruktur von (E,+), das wird dann schon zu der anderen endlichen abelschen Gruppe passen, und du kannst den Gruppenisomorphismus angeben. Von linearen Abbildungen brauchst du hier nicht reden.

28.01.2018, 18:32

forbin

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Entschuldige, ich verstehe nicht, wie ich deinen Tipp anwenden.

Ich brauche nur die Gruppenstruktur von (E,+) ?
Nun, ich weiß ja, dass elliptische Kurven versehen mit der speziell definierten Addition eine Gruppe bilden:
+: (E,+) -> (E,+)

Aber ich verstehe nicht wie ich den Gruppenisomorphismus angeben kann, ohne die zweite Gruppe zu betrachten? unglücklich

unglücklich

Edit:
Für einen Gruppenisomorphismus brauche ich nach Definition dessen eine Inverse Abbildung.
Das heißt, wenn ich von (E,+) -> ( Z/2Z x Z/8Z,+ ) bijektiv abbilde, reicht das schon?
Dann würde ich jedem Element der einen Gruppe einfach eines der anderen zuweisen und darauf achten, dass die Neutralen aufeinander abgebildet werden?

28.01.2018, 18:49

Elvis

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Nein, die Addition ist eine Verknüpfung auf der Menge $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} +:E\times E\to E,(P,Q)\mapsto R=P+Q \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} (E,+) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe ist.
siehe z.B. hier : www2.cs.uni-paderborn.de/cs/ag-bloemer/lehre/proseminar_WS2005/material/Muehlenfeld_Ausarbeitung.pdf
Wenn du die Gruppenstruktur elliptischer Kurve gar nicht kennst, verstehe ich nicht, wie du die Aufgabe bearbeiten willst.

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28.01.2018, 19:18

forbin

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Aber die kenne ich doch. Ich verstehe nur gerade nicht, wie ich allein von dieser auf den Iso schließen kann?

28.01.2018, 19:23

tatmas

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wenn du die Gruppenstruktur kennst, kennst du ja auch die z.B die Elemente der Ordnung 2 und 8.
Damit lässt sich der Iso leicht hinschreiben.

28.01.2018, 20:31

forbin

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Also, die Ordnung bestimme ich ja, indem ich die Verknüpfung + so oft hintereinander ausführe, bis ich beim unendlich fernen Punkt lande.

Das hab ich jetzt mit einem Tool gemacht, ich bekomme leider kein einziges Element dieser Ordnung raus.

28.01.2018, 20:39

tatmas

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Zitat:

Das hab ich jetzt mit einem Tool gemacht, ich bekomme leider kein einziges Element dieser Ordnung raus.

Dann hast du es falsch gemacht.

Bist du Informatker oder warum machst du alles mit einem Tool statt selber, da lernt man auch was dabei, z.B. wie sich die Addition verhält.

Und die der Ordnung 2 kann man ablesen, das sind die mit y-Koordinate 0.
Das ist elementares Wissen zur Addition auf elliptischen Kurven.

28.01.2018, 21:01

forbin

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Zitat:

Original von tatmas

Zitat:

Das hab ich jetzt mit einem Tool gemacht, ich bekomme leider kein einziges Element dieser Ordnung raus.

Dann hast du es falsch gemacht.

Bist du Informatker oder warum machst du alles mit einem Tool statt selber, da lernt man auch was dabei, z.B. wie sich die Addition verhält.

Und die der Ordnung 2 kann man ablesen, das sind die mit y-Koordinate 0.
Das ist elementares Wissen zur Addition auf elliptischen Kurven.

Nein, ich möchte es ja auch verstehen.
Also ich habe jetzt die Ordnungen.
Mit der Ordnung 2 habe ich: (5,0) , (7,0), (10,0)
Mit der Ordnung 4 habe ich: (2,1) , (1,9), (8,4), (8,7)

Die restlichen Punkte haben Ordnung 8.

28.01.2018, 21:06

tatmas

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Dann kannst du den Iso ja explizit hinschreiben.

28.01.2018, 21:15

forbin

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Zitat:

Original von tatmas
Dann kannst du den Iso ja explizit hinschreiben.

Das macht mir wie gesagt immer Probleme.
Also auch wenn du jetzt denkst und sagst "Denk halt einfach mal nach", mir fehlt dafür einfach das Verständnis.

28.01.2018, 21:28

tatmas

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Was macht den ein Isomorhpismus mit der ORdnung von Elementen?
Welche Elemente müssen also auf welche Elemente abgebildet werden?

Zitat:

mir fehlt dafür einfach das Verständnis.

Das sehe ich auch so. Du willst ein Thema bearbeiten hast aber die Grundlagen nicht verstanden.
Was ist ein Homomorpshismus, und warum ist eine lineare Abbildung nur ein spezieller solcher..
Was ist eine Kurve und wie kann man aus manchen Kurven Gruppen machen..

28.01.2018, 21:34

forbin

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Zitat:

Original von tatmas
Was macht den ein Isomorhpismus mit der ORdnung von Elementen?
Welche Elemente müssen also auf welche Elemente abgebildet werden?

Die Ordnung wird erhalten. Also werden Elemente der einen Gruppe auf Elemente der anderen Gruppe mit gleicher Ordnung abgebildet.

Zitat:

Zitat:

mir fehlt dafür einfach das Verständnis.

Das sehe ich auch so. Du willst ein Thema bearbeiten hast aber die Grundlagen nicht verstanden.
Was ist ein Homomorpshismus, und warum ist eine lineare Abbildung nur ein spezieller solcher..
Was ist eine Kurve und wie kann man aus manchen Kurven Gruppen machen..

Direkt auf meine Situation bezogen:
Ein Gruppenhomomorphismus ist eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi: (E,+) \rightarrow \mathbb Z/2\mathbb Z\times\mathbb Z/8\mathbb Z \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \phi^{-1} \end{eqnarray*}$ existiert mit: $\begin{eqnarray*} \phi\circ\phi^{-1} = (0,0) \text{ und} \phi^{-1}\circ\phi = O \end{eqnarray*}$

28.01.2018, 21:51

tatmas

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Da du jetzt weißt was wohin abgebildet wird, kannst du jetzt ja - mit etwas Vorsicht - einen Iso. hinschreiben..

Und was du hingeschrieben hast ist ein Homomorphismus von pointed sets (sorry weiß grade den deutschen Begriff nicht) nicht von Gruppen.
Ein Homomorphismus ist eine strukturerhaltende Abbildung. Bei Gruppen ist die die Struktur die Addition, bei Vektorräumen die Addition und Skalarmultiplikatiom usw.

28.01.2018, 22:14

forbin

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Ich habe jetzt die Ordnungen der Elemente in der Gruppe (Z/8Z,+) bestimmt.
Ich hätte erwartet, dass ich hier jeweils gleichviele Elemente mit gewisser Ordnung wie in (E,+) finde.
Aber dem ist leider nicht so, vorausgesetzt, ich habe mich nicht vertan.
Ist es das, worauf du mit "etwas vorsicht" hinauswillst?

Edit:
Kam mir gleich so komisch vor.
Jetzt habe ich also die Ordnungen erneut bestimmt und siehe da, es sind jeweils gleichviele.

29.01.2018, 00:40

tatmas

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Zitat:

ber dem ist leider nicht so, vorausgesetzt, ich habe mich nicht vertan. Ist es das, worauf du mit "etwas vorsicht" hinauswillst?

Du beschäftigst dich mit einem Thema ohne die Grundlagen zu verstehen.
Mach doch bitte erstmal elementare Gruppentheorie bevor du dich mit schwierigeren Themen auseinandersetzt.
Welche Ordnung die Elemente der Gruppe $\begin{eqnarray*} ( \mathbb Z / n \mathbb Z ,+) \end{eqnarray*}$ sollte jemand der sich mit elliptischen Kurven beschäftigt wissen.

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